Question

2．如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C．一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A点时刚好与传送带速度相同，然后经A点沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板．滑板运动到C点时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量为M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C点距离L=2R，E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g．求：
（1）物块滑到B点的速度大小；
（2）物块在B点时对轨道的压力大小；
（3）物块到达右侧半圆轨道能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）物块从E到B点由动能定理可求得到达B点的速度；
（2）在B点由牛顿第二定律求的对半圆轨道的压力；
（3）m、M系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出共同速度，应用能量守恒定律与动能定理求出上升的高度．

解答 解：（1）物块从E点运动到B 点的过程中，只有皮带对物块的摩擦力和重力两个力做功，由动能定理得：
μmgs+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=3$\sqrt{gR}$；
（2）在B点，轨道对物块支持力为F_N，由牛顿第二定律可得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F_N=10mg
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力为：F_N′=F_N=10mg；
（3）物块m和木板M在相互作用的过程中动量守恒，
设两者可以达到共同速度，设为V₁，该过程中木板运动的位移为X₁，两者的相对位移为x．
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv=（m+2m）v₁，
解得：v₁=$\sqrt{gR}$，
由能量守恒定律得：μmgx=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²，
解得：x=6R＜6.5R，
对木板，由动能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}$•2mv₁²，
解得：x₁=2R，
故物块与木板达到共同速度时，木板恰好运动到C点，对物块应用动能定理得：
μmg（l-x）+mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：h=$\frac{1}{4}$R；
答：（1）物块滑到B点的速度大小为3$\sqrt{gR}$；
（2）物块在B点时对轨道的压力大小为10mg；
（3）物块到达右侧半圆轨道能上升的最大高度为$\frac{1}{4}$R．

点评 本题考查机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题．