Question

如图所示，一根质量为m的金属棒MN水平放置在两根竖直的光滑平行金属导轨上，并始终与导轨保持良好接触，导轨间距为L，导轨下端接一阻值为R的电阻，其余电阻不计．在空间内有垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度大小只随竖直方向y变化，变化规律B=ky，k为大于零的常数．质量为M=4m的物体静止在倾角θ=30°的光滑斜面上，并通过轻质光滑定滑轮和绝缘细绳与金属棒相连接．当金属棒沿y轴方向从y=0位置由静止开始向上运动h时，加速度恰好为0．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g．求：
（1）金属棒上升h时的速度；
（2）金属棒上升h的过程中，电阻R上产生的热量；
（3）金属棒上升h的过程中，通过金属棒横截面的电量．

Answer 1

（1）当金属棒的加速度为零时，Mgsin30°=F+mg                                               
库仑力：F=BIL=KhIL                                             
感应电流：I=

BLv

R

=

khLv

R

                                           
解以上方程得：v=

mgR

k2h2L2

                            
（2）设产生的焦耳热为Q，由能量的转化与守恒得：

1

2

(M+m)v2=Mghsinθ-mgh-Q                        
解得：Q=mgh-

5m3g2R2

2k4L4h4

                   
（3）金属棒上升h的过程中，磁通量的变化：△Φ=

.

B

Lh=

1

2

kh?Lh=

1

2

kh2L
   流过金属棒截面的电量：q=

.

I

?△t=

. E

R

?△t                  
    

.

E

=

△Φ

△t

                                
解得：q=

kh2L

2R

答：（1）金属棒上升h时的速度v=

mgR

k2h2L2

；
（2）金属棒上升h的过程中，电阻R上产生的热量mgh-

5m3g2R2

2k4L4h4

；
（3）金属棒上升h的过程中，通过金属棒横截面的电量

kh2L

2R

．