题目内容
9．
某工厂流水线车间传送带如图所示：逆时针匀速转动的传送带长L=4m，与水平面夹角为37°；小工件被一个接一个地静止放到传送带顶端A点，小工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.25；则在这些小工件被运送到底端B点过程中，求：（1）小工件刚放上传送带时的加速度大小；
（2）若要让每个小工件都能最快地从A运到B，传送带速率应满足的条件，并求出该最短时间；
（3）若要降低工厂耗能成本，要求每个小工件相对传送带滑动的路程都最短，传送带速率应满足的条件，并求出一个小工件相对传送带的最短路程．
已知g取10m/s2，函数y=x$\sqrt{a{x}^{2}+b}$-x2在x2=$\frac{b}{2a}$（$\frac{1}{\sqrt{1-a}}$-1）
分析 （1）对小工件根据牛顿第二定律求解加速度大小；
（2）小工件全程一直加速，运行时间最短，根据牛顿第二定律得到加速度，根据速度时间关系求解速度；
（3）分析传送带以不同速度运动时，小工件的运动情况和受力情况，利用牛顿第二定律列方程求解加速度，根据位移速度关系求解位移，得到全程相对滑动路程的表达式，根据函数关系求解．
解答 解：（1）对小工件：刚放上传送带时，根据牛顿第二定律可得：mgsin37°+μmgcos37°=ma1，
解得：a1=8m/s2；
（2）小工件全程一直加速，运行时间最短，当小工件刚好到B端与传送带刚好共速时，为传送带速度临界值；
对小工件由（1）可得a1=8m/s2；
根据速度位移关系可得：2a1s=v02-0，
得v0=8m/s；
故要工件运行的时间最短，v0≥8m/s，
根据v0=at，t=1s；
（3）当传送带速度v0=8m/s时，工件到B端刚好共速，相对滑动为一单向滑动；
对工件根据速度时间关系可得：v0=a1t，
解得t=1s，
位移：S工件=L=4m；
对传送带：S带=v0t=8m，
相对滑动的路程为：△S滑-S工件=4m；
当传送带的速度v0＞8m/s时，工件到B端都未共速，相对滑动也为一单向滑动，且工件位移时间都与上相同，但传送带位移比以上要大，故相对路程△S＞4m，不考虑；
当传送带速度v0＜8m/s时，工件到B端前已共速，设传送带速度大小为v，从工件静止释放与传送带共速阶段：
对工件：2a1S工件1=v2-0，v=a1t1，
对传送带：S带1=vt1=$\frac{{v}^{2}}{{a}_{1}}$，
相对滑动路程为：△S1=S滑1-S工件1=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{v}^{2}}{16}$；
从工件共速后到B端阶段，因为μ=0.25＜tan37°=0.75，故工件继续加速，
对工件：mgsin37°-μmgcos37°=ma2，得a2=4m/s2，
S工件2=L-S工件1=L-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=vt2+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
得a2=4m/s2，
S工件2=L-S工件1=L-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=vt2+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
得t2=$\frac{\sqrt{0.5{v}^{2}+32}-v}{4}$，
对传送带：S带2=vt2
对传送带：S带2=vt2，相对滑动路程为：△S2=S工件2-S带2=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
故全程相对滑动路程为：
△S=△S1+△S2=$\frac{{v}^{2}}{2a}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=L-vt2=4-$\frac{\sqrt{0.5{v}^{2}+32}-{v}^{2}}{4}$；
由题目所给函数得：当v=$4\sqrt{2（\sqrt{2}-1）}m/s$，
△S最短=4（$\sqrt{2}-1$）m．
答：（1）小工件刚放上传送带时的加速度大小为8m/s2；
（2）若要让每个小工件都能最快地从A运到B，传送带速率应满足的条件是不小于8m/s，并求出该最短时间为1s；
（3）若要降低工厂耗能成本，要求每个小工件相对传送带滑动的路程都最短，传送带速率应为$4\sqrt{2（\sqrt{2}-1）}m/s$，
，每一个小工件相对传送带的最短路程为4（$\sqrt{2}-1$）m．
点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．
1966年曾在地球的上空完成了以牛顿第二定律为基础的测定质量的实验，实验时，用宇宙飞船（质量m）去接触正在轨道上运行的火箭（质量mx，发动机已熄火），如图所示．接触以后，开动飞船尾部的推进器，使飞船和火箭组共同加速，推进器的平均推力为F 开动时间，△t，测出飞船和火箭组的速度变化是△v，下列说法正确的是（ ）| A． | 推力F越大，$\frac{△v}{△t}$就越小，且$\frac{△v}{△t}$与F成反比 | |
| B． | 推力F通过飞船m传递给了火箭mx，所以m对mx的弹力大小应为F | |
| C． | 火箭质量mx应为$\frac{F△t}{△v}$ | |
| D． | 火箭质量mx应为$\frac{F△t}{△v}$-m |
电磁弹射是采用电磁的能量来推动被弹射物体向外运动的新型技术，是我国最新研究的重大科技成果．其工作原理可简化为下述模型．如图所示，一为长为L=1m、电阻为R=2Ω的正方形单匝金属线框abcd放在绝缘的光滑水平面上，线框所在处存在一个竖直向上的匀强磁场，虚线MN为磁场的左边界，线框的ab边处在磁场外侧紧靠MN处．t=0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B=2+0.4t（T），空气阻力忽略不计．试求：
“电场中等势线的描绘”实验装置如图7所示，在图中a．b．c．d．e五个基准点中电势最高的是a点，该实验所用的电源是直流（填直流或交流）电源，实验所用导电纸有导电材料的一面朝上．
如图所示，水平传送带以v=2m/s的速度逆时针匀速转动，现使一可看成质点的物块以v0=4m/s的水平速度从传送带左端滑上，若传送带与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，物块质量m=0.5kg，L=5m，g=10m/s2，则：
