Question

12．如图甲所示，两根足够长的竖直光滑平行金属导轨相距L₁=0.1m，导轨下端通过导线连接阻值R=0.4Ω的电阻，质量m=0.2kg，阻值r=0.1Ω的金属棒MN放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面的交替变化的磁场中，B₁=20T，B₂=10T，各磁场宽度均为L₂=0.05m，取g=10m/s²．
（1）若用一竖直向上的拉力将金属棒从ab位置以v=1m/s的速度匀速拉到jk位置，求拉力做的功和电路中电流的有效值．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，用功率恒为P_m=6W的竖直向上的拉力使棒从静止开始向上运动，棒向上的位移随时间变化的情况如图乙所示，试求磁感应强度B'的大小和棒变速运动阶段在电阻R上的产生的热量．

Answer 1

分析 （1）由于棒匀速运动，可根据公式E=BLv、欧姆定律和焦耳定律求出电路中产生的焦耳热，再根据功能关系求解拉力做的功．根据有效值的定义，求解电流的有效值．
（2）位移时间图象的斜率等于速度，据此求出棒匀速运动的速度大小，根据平衡条件及安培力与速度的关系式结合，可求得B′．根据焦耳定律求出R上产生的热量．

解答 解：（1）棒在ac段和ce段产生的感应电流大小分别为 I₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}v}{R+r}$=$\frac{20×0.1×1}{0.4+0.1}$A=4A
I₂=$\frac{{B}_{2}{L}_{1}v}{R+r}$=$\frac{10×0.1×1}{0.4+0.1}$A=2A
棒通过各段磁场区域的时间为 t=$\frac{{L}_{2}}{v}$=$\frac{0.05}{1}$s=0.05s
故将金属棒从ab位置匀速运动到jk位置的过程中，回路中产生的焦耳热为 Q=2[${I}_{1}^{2}（R+r）t$+${I}_{2}^{2}（R+r）t$]=2[4²×0.5×0.05+2²×0.5×0.05]J=1J
则拉力做功为 W=Q+4mgL₂=1+4×0.2×10×0.05=1.4J
设电流的有效值为I，则Q=I²（R+r）•4t
代入得 1=I²×0.5×4×0.05
解得 I=$\sqrt{10}$A
（2）根据位移图象的斜率等于速度，可知棒匀速运动的速度大小为 V=$\frac{△x}{△t}$=$\frac{0.8}{0.4}$=2（m/s）
速度为V时金属棒所受的安培力大小 F_安=B′•$\frac{B′{L}_{1}V}{R+r}$•V=$\frac{B{′}^{2}{L}_{1}^{2}V}{R+r}$
根据平衡条件得 $\frac{{P}_{m}}{V}$=mg+F_安
代入得：$\frac{6}{2}$=2+$\frac{B{′}^{2}×0．{1}^{2}×2}{0.5}$
解得 B′=5T
根据能量守恒得 P_mt=mgh′+$\frac{1}{2}m{V}^{2}$+Q
得电路中产生的总焦耳热Q=P_mt-mgh′-$\frac{1}{2}m{V}^{2}$=6×1-0.2×10×0.8-$\frac{1}{2}$×0.2×2²=4J
则棒变速运动阶段在电阻R上的产生的热量 Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{0.4}{0.4+0.1}×$4J=3.2J
答：（1）力做的功为1.4J．电路中电流的有效值为$\sqrt{10}$A．（2）B′的大小为5T，R上产生的焦耳热为 3.2J．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合应用，关键要正确分析金属棒的运动情况和受力情况，运用电路知识、力学知识和电磁感应知识结合解答．第2小题与汽车的起动类似，要理解x-t图象的物理意义，运用能量关系解题．