Question

1．按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科 学探测任务后，将开展第二步“落月”工程．如图所示 假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，当运动到轨道 上的A点时，点火变轨进人椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道的近 月点B时再次点火变轨，进入近月轨道DI绕月球做圆周运动．求：
（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（2）飞船在轨道Ⅲ上绕月球运动一周所需的时间？

Answer 1

分析 在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解，
卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定．
飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行，重力提供向心力，根据向心力周期公式即可求解

解答 解：（1）飞船在轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=3R+R=4R，
在月球表面，万有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀，
解得：v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{g}_{0}R}$；
（2）飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行，重力提供向心力，
mg₀=$\frac{{m4π}^{2}R}{{T}^{2}}$
T=2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$，
答：（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率是$\frac{1}{2}$$\sqrt{{g}_{0}R}$；
（2）飞船在轨道Ⅲ上绕月球运动一周所需的时间是2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$．

点评 该题考查了万有引力公式及向心力基本公式的应用，难度不大，属于中档题．