Question

20．如图所示，光滑的轻杆可以绕其一端O，在竖直面内做匀速圆周运动，杆上穿着两个质量均为m=1kg的小球（小球均视为质点，杆与小球之间无摩擦力）．小球A与转轴O之间的距离为L=0.3m，小球A与小球B之间距离也为L，长为L的轻绳一端连接小球A另一端连接在O点，小球A和小球B也用长为L的轻绳连接（图中未画出轻绳），两根轻绳能承受的最大张力相同，均为T_max=110N．（g=10m/s²）
（1）若杆的角速度ω=6rad/s，求当杆转到水平方向时，OA绳上的张力T₁和AB绳上的张力T₂．
（2）在两根轻绳均伸直而不拉断的情况下，杆在竖直面内做匀速圆周运动的角速度的范围．

Answer 1

分析 （1）当杆转到水平方向时，．B靠绳子AB的拉力提供向心力，A靠两绳子拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出OA绳上的张力T₁和AB绳上的张力T₂．
（2）在最低点，绳子的拉力最大，结合牛顿第二定律求出角速度的最大值．在最高点，抓住绳子拉力为零，结合牛顿第二定律求出最小角速度，从而得出角速度的范围．

解答 解：（1）当杆转到水平方向时，对B分析，根据牛顿第二定律得，${T}_{2}=m•2L{ω}^{2}$=1×0.6×36J=21.6N，
对A分析，根据牛顿第二定律得，${T}_{1}-{T}_{2}=mL{ω}^{2}$，解得${T}_{1}={T}_{2}+mL{ω}^{2}$=21.6+1×0.3×36N=32.4N，
（2）当杆子处于竖直向下位置时，绳子的拉力最大，
对A，有：${T}_{max}-mg-T=mL{{ω}_{max}}^{2}$，对B，有：$T-mg=m•2L{{ω}_{max}}^{2}$，
代入数据，联立解得ω_max=10rad/s．
在最高点，当B靠重力提供向心力时，角速度最小，根据牛顿第二定律得，$mg=m•2L{{ω}_{min}}^{2}$，
解得${ω}_{min}=\sqrt{\frac{g}{2L}}=\sqrt{\frac{10}{0.6}}$≈4.1rad/s．
则角速度的范围为4.1rad/s≤ω≤10rad/s．
答：（1）当杆转到水平方向时，OA绳上的张力为32.4N，AB绳的张力为21.6N．
（2）杆在竖直面内做匀速圆周运动的角速度的范围为4.1rad/s≤ω≤10rad/s．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．