Question

12．一长方体木板B放在水平地面上，木板B的右端放置着一个小铁块A，t=0时刻，给A以水平向左的初速度，v_A=1m/s，给B初速度大小为v_B=14m/s，方向水平向右，如图甲所示；在以后的运动中，木板B的v-t图象如图乙所示．已知A、B的质量相等，A与B及B与地面之间均有摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；设A始终没有滑出B，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）站在水平地面上的人看，A向左运动的最大位移S_A；
（2）A与B间的动摩擦因数μ₁及B与地面间的动摩擦因数μ₂；
（3）整个过程B运动的位移大小X_B；
（4）A最终距离木板B右端的距离S_AB．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A的加速度以及图象与t轴交点A的坐标，根据图象的面积求出向左运动的最大位移
（2）根据牛顿第二定律求出AB间及B与地面之间的动摩擦因素，求出3s后AB的加速度，求出各自减速到0的时间，从而求出A、B分别运动的时间t_A、t_B
（3）根据图象的面积表示位移，分别求出AB的位移，相对位移即B木板的最小长度
（4）根据A的运动过程，画出A的速度时间图象，根据图象计算A的位移的大小，进而得出A最终距离木板B右端的距离．

解答 解：（1）由图乙可知，0～3s内A做匀变速运动，速度由v_A=-1m/s变为v=2m/s．
则其加速度大小为：${a}_{A}^{\;}=\frac{△v}{△t}=\frac{2-（-1）}{3}m/{s}_{\;}^{2}=1m/{s}_{\;}^{2}$，方向水平向右．
当A水平向左运动速度减为零时，向左运动的位移最大，则：S_A=$\frac{{v}_{A}{\;}^{2}}{2{a}_{A}}$=0.5m，
（2）设A与B之间的动摩擦因数为μ₁，
对A物体，由牛顿第二定律得：μ₁mg=ma_A
则：μ₁=$\frac{{a}_{A}}{g}$=0.1
由图乙可知，0～3s内B做匀减速运动，其速度由v_B=14m/s变为v=2m/s．
则其加速度大小为：a_B=$\frac{{v}_{B}-v}{{t}_{1}}=\frac{14-2}{3}$=4m/s²． 方向水平向左．
设B与地面之间的动摩擦因数为μ₂，由牛顿第二定律得：μ₁mg+2μ₂mg=ma_B
则：μ₂=$\frac{{a}_{A}}{g}$=$\frac{{a}_{B}-{μ}_{1}g}{2g}$=0.15
（3）3s之后，B继续向右做匀减速运动，由牛顿第二定律得：2μ₂mg-μ₁mg=ma_B′
则B的加速度大小为：a_B′=2μ₂g-μ₁g=2m/s²，方向水平向左．
3s之后运动的时间为：t₂=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{B}′}=\frac{2}{2}$s=1s 
则B运动的时间为：t=t₁+t₂=4s
0～4s内B的位移：X_B=$\frac{{v}_{B}+v}{2}{t}_{1}+\frac{v}{2}{t}_{2}$=25m  方向水平向右．
（4）假设AB共同匀减速直线运动的，根据牛顿第二定律${μ}_{2}^{\;}•2mg=2m{a}_{共}^{\;}$
得${a}_{共}^{\;}={μ}_{2}^{\;}g=1.5$$＞{μ}_{1}^{\;}g=1m/{s}_{\;}^{2}$
3s后，A向右匀减速直线运动到速度为0的时间，${t}_{A}^{′}=\frac{v}{{a}_{A}}=\frac{2}{1}s=2s$
所以${t}_{A}^{\;}=3+2=5s$
画出A的速度时间图象如图中红线所示，

A的总位移为-0.5+$\frac{1}{2}$×4×2=3.5m，
所以A最终距离木板B右端的距离S_AB=25-3.5=21.5m．
答：（1）站在水平地面上的人看，A向左运动的最大位移S_A为0.5m；
（2）A与B间的动摩擦因数μ₁为0.1，B与地面间的动摩擦因数μ₂为0.15；
（3）整个过程B运动的位移大小X_B为25m；
（4）A最终距离木板B右端的距离S_AB为21.5m．

点评 分析清楚两个物体的运动情况，抓住图象的有效信息，读出时间和速度是解题的关键．由于开始时．两个物体的加速度不同，必须采用隔离法研究．A的运动过程分析是题目的关键也是题目的难点，题目比较复杂．