Question

17．如图所示，宇宙飞船进入返回轨道前，在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，去轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）．当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的动力装置短暂工作，使飞船减速后沿返回轨道Ⅱ（椭圆轨道）运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船的质量均可视为不变，已知地球表面的重力加速度为g．
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）质量为m的飞船与地心的距离为r时引力势能可表示为E_p=-$\frac{GMm}{r}$，式中G为引力常量，M为地球质量．在飞船沿轨道Ⅱ运动的过程中，其动能和引力势能之和保持不变，且A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比．请计算飞船经过B点时的速度大小（结果用k、g、R表示）．

Answer 1

分析 （1）飞船在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力列式；在地面，根据重力等于万有引力列式；最后联立求解即可．
（2）飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，结合能量守恒计算飞船在B点的速度．

解答 解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为v₀
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{（KR）^{2}}$=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{KR}$
对于地面附近的质量为m的物体有：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{gR}{K}}$
（2）设飞船在轨道Ⅱ运动时过A，B点的
速度为v_A，v_B，由机械能守恒可得：$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=-\frac{GMm}{KR}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
                   根据题意得：v_AKR=v_BRK 
                       又由：GM=gR²
 联立以上各式可得：v_B=$\sqrt{\frac{2kgR}{k+1}}$
答（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小为$\sqrt{\frac{gR}{K}}$
（2）飞船经过B点时的速度大小为$\sqrt{\frac{2kgR}{k+1}}$

点评 明确万有引力提供向心力，结合在地表重力等于万有引力求解；探测器飞行过程中动能和势能之和守恒，根据守恒定律列式求解即可．