Question

6．如图所示，在xoy平面内的第三象限中有沿-y方向的匀强电场，场强大小为E，在第一和第二象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平面，在其他三个象限存在于磁场垂直的匀强电场，有一个质量为m、电荷量为q的小球，从y轴的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场，小球经电场偏转后，从M点进入磁场做圆周运动，并到达+x轴的N点，最后到达-y轴，已知OM=2OP=2ON，求：
（1）求小球在其他三象限的电场强度E₀
（2）求小球到达-y轴时距坐标原点的距离；
（3）求小球从P点出发能到达-y轴时，磁场区域的最小的矩形面积．

Answer 1

分析 （1）小球在其他三个象限，受重力在电场与磁场的复合场中做匀速圆周运动的条件为：重力与电场力平衡，根据左手定则和圆周运动的方向可判断小球电性；
（2）在电场中做类平抛运动，运用运动的合成和分解，针对分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律，以及速度偏向角和位移偏向角等几何关系求解；
（3）根据粒子做匀速圆周运动的轨迹，画出与轨迹相切的最小矩形，结合几何关系计算分析出矩形的长宽即可求面积．

解答 解：（1）根据小球在磁场中做圆周运动有：qE₀=mg，解得：E₀=$\frac{mg}{q}$，
根据带电小球在磁场中做顺时针的圆周运动，根据左右定则可知：粒子带负点，所以小球在其他三象限的电场方向竖直向下，
（2）在电场中小球做类平抛运动，
根据类平抛的规律有：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}$at²，v_x=v₀，v_y=at
根据已知：x=2y，
运用牛顿第二定律得：qE-mg=ma，联立可得y=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（qE-mg）}$，
设小球做类平抛过程的位移偏转角为α，速度偏转角为θ，
根据几何关系得：tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{at}{2{v}_{0}}$=$\frac{1}{2}$
又因为：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$=1，故小球进入磁场时与x轴的负方向夹角θ=45°，

小球在磁场中运动到N点轨迹，如图所示，由对称性可知，从N点飞出时小球速度与x轴负方向成45°角
出磁场后由于受力平衡做匀速直线运动，根据已知OP=ON，故刚好回到原来出发点P，
所以小球到原点距离为OP=y=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（qE-mg）}$，
（3）根据几何关系可知小球在磁场中转过的圆心角为$\frac{π}{2}$，所以匀速圆周运动的半径R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN，
联立已知条件可得：MN=3ON=3y=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2（qE-mg）}$
所以矩形磁场区域的最小的面积S=2R•（R+$\frac{\sqrt{2}}{2}$R）
联立得：S=$\frac{（18+9\sqrt{2}）{{m}^{2}v}_{0}^{4}}{32（qE-mg）^{2}}$

答：（1）小球在其他三象限的电场强度E₀大小为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向下；
（2）小球到达-y轴时距坐标原点的距离为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（qE-mg）}$；
（3）小球从P点出发能到达-y轴时，磁场区域的最小的矩形面积为$\frac{（18+9\sqrt{2}）{{m}^{2}v}_{0}^{4}}{32（qE-mg）^{2}}$．

点评 本题考查：带电小球在匀强电场中的运动和带电小球在复合场中的运动，熟悉在重力、电场力、洛伦兹力作用下物体做匀速圆周运动的条件：即重力与电场力平衡；掌握类平抛运动的处理方式，把类平抛运动分解成相互垂直方向的匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动，通过分运动的处理得到合运动的性质是解决问题的关键．第一问注意场强是矢量，要说明方向，第一问场强的方向也可以根据类平抛过程球能向上运动，小球向上的电场力大于向下的重力，所以一定带负点，进而判断出E₀的方向为竖直向下．