题目内容

10．如图，位于竖直水平面内的轨道由抛物线ab、圆心为O的圆弧bcd和斜杆de组成，ab、de分别与圆弧相切于b、d两点，a点为抛物线顶点，b、d两点等高，c点为圆弧的最低点，已知a、b两点间的竖直高度h=1.5m，水平距离x=2.25m，圆弧的半径R=0.1m，现将一质量为m的小环套在轨道上，从a点以初速度v0水平向右抛出，小环与ab轨道间恰好没有相互作用力，此环沿轨道第一次到达与a点同高的最高点P，小环与斜杆间的动摩擦因数恒为μ，不计其他处摩擦，取g=10m/s2，求：
（1）v0的值；
（2）μ的值；
（3）小环第二次通过c点时的速度大小v．（保留3位有效数字）

分析 （1）由ab为物体做平抛运动的轨迹，根据位移公式求解初速度；
（2）根据几何关系求得de的倾斜角，然后对a到P的运动过程应用动能定理即可求解；
（3）根据几何关系求得c到P的竖直高度，然后对小环从P到c的运动过程应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）小环与ab轨道间恰好没有相互作用力，那么小环做平抛运动，轨迹为ab，所以有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v0t，所以，${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{3}{4}\sqrt{30}m/s=4.11m/s$；
（2）ab、de分别与圆弧相切于b、d两点，那么de的倾斜角和抛物线ab在b处切线的倾斜角；
以a为坐标原点，则ab抛物线的方程为$y=-\frac{8}{27}{x}^{2}$，那么在b处切线的斜率为为$-\frac{8}{27}×2×2.25=-\frac{4}{3}$，故倾斜角为53°；所以，de的倾斜角为53°；
小环从a到P的运动过程只有摩擦力作用，故由动能定理可得：$-μmgcos53°×\frac{h}{sin53°}=-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，$μ=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gh}tan53°=0.75$；
（3）小环从P滑到C过程只有重力、摩擦力做功，又有在de上运动，摩擦力大小不变，故下滑时摩擦力做功和上滑时相同；
de的倾斜角为53°，圆弧的半径R=0.1m，故c到bd的竖直高度为h′=R-Rsin37°=0.4R=0.04m；
 那么，由动能定理可得：$mg（h+h′）-μmghcot53°=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，$v=\sqrt{2g（h+h′-μhcot53°）}=3.73m/s$；
答：（1）v0的值为4.11m/s；
（2）μ的值为0.75；
（3）小环第二次通过c点时的速度大小v为3.73m/s．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．

练习册系列答案
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