Question

12．如图所示，在直角坐标系xOy平面内的一、二象限内存在有界匀强电场和匀强磁场．电场方向与y轴正向相同、范围在0≤y≤d内；磁场方向垂直于xOy平面向里．范围在d＜y≤2d内．位于坐标原点O的粒子放射源向各个方向射出质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子．粒子的速度大小均为v₀．粒子离开电场上边缘y=d时，能够到达的最右侧的位置为（1.5d，d）．最终恰没有粒子离开磁场的上边界．不粒子重力以及粒子间相互作用，求：（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）电场强度E；
（2）磁感应强度B；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）进入电场的粒子，初速度分解为垂直电场线和平行于电场线，沿电场线方向匀加速直线运动，垂直电场线方向匀速直线运动，当初速度垂直电场线的粒子，运动时间最长，到达电场最右侧
（2）进入磁场的带电粒子与边界的夹角不同，根据动能定理知速度大小相等，但方向不同，沿y轴方向进入磁场的粒子轨迹是半个圆周，垂直电场线进入电场再进入磁场的粒子，轨迹圆弧所对的圆心角最大，根据几何关系求出半径，即可求出速度．
（3）求出轨迹圆弧所对的圆心角，根据$t=\frac{θ}{2π}T$，求出时间．

解答 解：（1）垂直电场线方向的粒子，能到达电场的最右侧，沿电场方向的初速度为0，在电场中运动时间最长，水平位移最大，在电场中做类平抛运动
水平方向$1.5d={v}_{0}^{\;}t$①
竖直方向$d=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}②$
粒子加速度$a=\frac{qE}{m}$③
解得：$E=\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qd}$
（2）粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，进入磁场的所有带电粒子，速度设为v，根据动能定理定理，有
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得$v=\frac{5{v}_{0}^{\;}}{3}$
速度大小相等，方向不同
做类平抛运动的带电粒子进入磁场时轨迹圆弧最长，设进入磁场时速度与水平方向的夹角为θ，$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}=\frac{3}{5}$，θ=53°，轨迹和磁场上边界相切
根据几何关系R+Rsin37°=d
解得$R=\frac{5d}{8}$
根据牛顿第二定律，有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}=\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{3qB}$
联立得$B=\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{3qd}$
（3）粒子在磁场中运动的最长时间$t=\frac{360°-53°×2}{360°}T=\frac{127}{180}×\frac{2πm}{qB}$
将（2）的结果代入$t=\frac{127πd}{240{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）电场强度E为$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qd}$；
（2）磁感应强度B为$\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{3qd}$；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间$\frac{127πd}{240{v}_{0}^{\;}}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动问题，分析清楚粒子的运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律即可正确解题．