Question

19．如图所示，水平木板和足够长的水平传送带平滑对接，质量为2kg的小物体A静止在木板上，质量也为2kg的小物块B静止在木板的左端（靠近传送带右端处）物块A在最短时间内受一水平向左的冲量I=8N•s作用，运动l=3m后与物块B发生弹性正碰，物块B立即滑上传送带，传送带始终以v=1m/s的速度顺时针转动，经过一段时间物块B与物块A再次发生碰撞后立即停在木板的左端，已知物块A与木板、物块B传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求物块A与物块B第一次碰撞前瞬间速度的大小；
（2）物块B与传送带相互摩擦产生的内能；
（3）物块A与木板相互摩擦产生的内能．

Answer 1

分析 （1）先根据动量定理求出受冲量I后A获得的速度．再对A，运用动能定理求出物块A与物块B第一次碰撞前瞬间速度．
（2）A与B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和动能守恒列式求出碰后两者的速度，发现两者交换速度．之后物块B在传送带向左运动，先向左做匀减速运动，后向右匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求两者的相对位移，即可求得摩擦生热．
（3）B返回传送带右端时与A碰撞，再交换速度，根据功能关系求物块A与木板相互摩擦产生的内能．

解答 解：（1）由动量定理得：I=mv₀
得 v₀=4m/s
由动能定理得-μmgl=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，物块A与物块B第一次碰撞前瞬间速度大小 v₁=2m/s
（2）设第一次碰撞后瞬间物体A、B的速度大小分别为v₁′、v₂．取向左为正方向，根据动量守恒定律得：
   mv₁=mv₁′+mv₂；
由动能守恒得：
  $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂²；
解得 v₁′=0，v₂=2m/s，可知碰撞后两个物体交换速度．
物块B在传送带运动的加速度大小为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
物块B向左速度减为0时运动的距离设为x₁，则
    v₂²=2ax₁．
解得 x₁=1m
速度变为0所用的时间  t₁=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{2}{2}$=1s
传送带运动的距离 x₂=vt₁=1×1m=1m
该过程因摩擦产生的内能 Q₁=μmg（x₁+x₂）
解得 Q₁=8J
物块B向右加速速度变为1m/s时运动的距离设为x₃，则
    v²=2ax₃．
解得 x₃=0.25m
所用的时间  t₂=$\frac{v}{a}$=$\frac{1}{2}$=0.5s
该过程中传送带运动的距离 x₄=vt₂=1×0.5m=0.5m
该过程因摩擦产生的内能 Q₂=μmg（x₄-x₃）
解得 Q₂=1J
故物块B与传送带相互摩擦产生的内能为 Q=Q₁+Q₂=9J
（3）由上分析知，B与A再次碰撞后两个物体交换速度，碰撞瞬间A的速度 v₃=v=1m/s
故根据功能关系可得：
物块A与木板相互摩擦产生的内能  Q_A=μmgl+$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 Q_A=13J
答：
（1）物块A与物块B第一次碰撞前瞬间速度的大小是2m/s；
（2）物块B与传送带相互摩擦产生的内能是9J；
（3）物块A与木板相互摩擦产生的内能是13J．

点评 本题是多过程问题，分析物块经历的过程，运用动量守恒，能量守恒、牛顿第二定律和运动学分析和计算，关键是分析清楚物体的受力情况和运动情况．