题目内容
3．如图所示，上表面光滑的水平平台左端与竖直面内半径为R的光滑半圆轨道相切，整体固定在水平地面上．平台上放置两个滑块A、B，其质量mA=m，mB=2m，两滑块间夹有被压缩的轻质弹簧，弹簧与滑块不拴接．平台右侧有一小车，静止在光滑的水平地面上，小车质量M=3m，车长L=2R，小车的上表面与平台的台面等高，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.2．解除弹簧约束，滑块A、B在平台上与弹簧分离，在同一水平直线上运动．滑块A经C点恰好能够通过半圆轨道的最高点D，滑块B冲上小车．两个滑块均可视为质点，重力加速度为g．求：
（1）滑块A在半圆轨道最低点C处时的速度大小；
（2）滑块B冲上小车后与小车发生相对运动过程中小车的位移大小；
（3）若右侧地面上有一高度略低于小车上表面的立桩（图中未画出），立桩与小车右端的距离为S，当小车右端运动到立桩处立即被牢固粘连．请讨论滑块B在小车上运动的过程中，克服摩擦力做的功Wf与S的关系．
分析 （1）滑块A在半圆轨道运动，到达最高点时由重力提供向心力，滑块A在半圆轨道运动的过程中，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；
（2）A、B在弹簧恢复原长的过程中动量守恒，根据动量守恒定律求出B的速度，假设滑块可以在小车上与小车共速，由动量守恒求出共同速度，再求出滑块从滑上小车到与小车共速时的位移，从而求出此过程中小车的位移，通过滑块B相对小车的位移判断假设是否成立；
（3）根据立桩与小车右端的距离与小车的位移的大小关系两种情况进行讨论，根据摩擦力做功以及功能关系求解．
解答 解：（1）滑块A在半圆轨道运动，设到达最高点的速度为vD，则有：$mg=m\frac{v_D^2}{R}$，
得：${v_D}=\sqrt{gR}$
滑块A在半圆轨道运动的过程中，机械能守恒，所以有：$2mgR+\frac{1}{2}mv_D^2=\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_A}=\sqrt{5gR}$
（2）A、B在弹簧恢复原长的过程中动量守恒，设向左为正，则有：mAvA+（-mBvB）=0
得：${v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{2}$
假设滑块可以在小车上与小车共速，由动量守恒得：mBvB=（mB+M）v共
得：${v_共}=\frac{2}{5}{v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{5}$
则滑块从滑上小车到与小车共速时的位移为：${S_B}=\frac{v_共^2-v_B^2}{-2μg}=\frac{21R}{8}$
车的加速度${a_车}=\frac{2}{15}g$
此过程中小车的位移为：${S_车}=\frac{v_共^2}{{2{a_车}}}=\frac{3}{4}R$
滑块B相对小车的位移为：$△S={S_B}-{S_车}=\frac{15R}{8}＜2R$滑块B未掉下小车，假设合理，
滑块B冲上小车后与小车发生相对运动过程中小车的位移${S_车}=\frac{3R}{4}$
（3）分析如下：
①当$S≥\frac{3}{4}R$时滑块B从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为：${W_{f1}}=2μmg{S_B}=\frac{21mgR}{20}$，
车与立桩相碰，静止后，滑块B做匀减速运动直到停下的位移为：${S}_{1}=\frac{{v}_{共}^{2}}{2μg}=\frac{R}{2}＞（L-△S）$滑块会脱离小车．
小车与立桩相碰静止后，滑块继续运动脱离小车过程中，滑块克服摩擦力做功为${W_{f2}}=2μmg（L-△S）=\frac{mgR}{20}$，
所以，当$S≥\frac{3}{4}R$时，滑块B克服摩擦力做功为${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，
②当$S＜\frac{3}{4}R$时，小车可能获得的最大动能小于${E_k}=\frac{1}{2}×3mv_共^2=\frac{3}{10}mgR$，
滑块B与车发生相对位移2R的过程中产生的内能为：${E_Q}=μ×2mg×2R=\frac{4}{5}mgR$，
两者之和：$E={E_k}+{E_Q}=\frac{11}{10}mgR$，
滑块B冲上小车时具有的初动能${E_k}=\frac{1}{2}×2mv_B^2=\frac{5}{4}mgR＞E$，
所以滑块一定能滑离小车，则滑块B克服摩擦力做功为：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$
答：（1）滑块A在半圆轨道最低点C处时的速度大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）滑块B冲上小车后与小车发生相对运动过程中小车的位移大小为$\frac{3R}{4}$；
（3）当$S≥\frac{3}{4}R$时，滑块B克服摩擦力做功为${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，当$S＜\frac{3}{4}R$时，滑块B克服摩擦力做功为：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$．
点评 本题考查了机械能守恒定律、向心力公式、动量守恒定律、运动学基本公式的直接应用，解题的关键是分析清楚物体运动过程以及受力过程，知道滑块A经C点恰好能够通过半圆轨道的最高点，说明在D点由重力提供向心力，注意使用动量守恒定律时要规定正方向，难度很大．
53天天练系列答案
| A． | 当乙传感器接入电路实验时，若F变大，则电流表指针向右偏转 | |
| B． | 当乙传感器接入电路实验时，若F变小，则电流表指针向右偏转 | |
| C． | 当丙传感器接入电路实验时，若导电溶液深度h变小，则电流表指针向左偏转 | |
| D． | 当丙传感器接入电路实验时，若导电溶液深度h变大，则电流表指针向左偏转 |
| A． | 与初速度方向相同 | B． | 与初速度方向相反 | ||
| C． | 与合外力的方向相同 | D． | 与合外力的方向相反 |
| A． | 它绕月球的最大环绕速度小于7.9km/s | |
| B． | 它在月球表面重力加速度大于地球表面重力加速度 | |
| C． | 它在月球表面的环绕周期小于它在地球表面的环绕周期 | |
| D． | 它在月球表面受到的引力大于它在地球表面受到的引力 |
”表示）（请画在图1方框内）．
| A． | 角速度之比ωA：ωB=$\sqrt{2}$：1 | B． | 角速度之比ωA：ωB=1：$\sqrt{2}$ | ||
| C． | 线速度之比vA：vB=$\sqrt{2}$：1 | D． | 线速度之比vA：vB=1：$\sqrt{2}$ |
| A． | 根据P=$\frac{W}{t}$可知，机器做功越多，其功率就越大 | |
| B． | 根据P=Fv可知，当发动机的功率保持不变的时候，汽车速度的大小与牵引力成反比 | |
| C． | 根据P=$\frac{W}{t}$可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率 | |
| D． | 功率大表示做功快，也就是在单位时间内做的功多 |