Question

20．如图，一个三棱镜的截面为等腰直角△ABC，∠A为直角．一细束光线沿此截面所在平面且平行于BC边的方向射到AB边上的M点，M、A间距为L．光进入棱镜后直接射到AC边上，并刚好能发生全反射．试求：
（i）该棱镜材料的折射率n=？
（ii）光从AB边到AC边的传播时间t=？（已知真空中的光速为c．）

Answer 1

分析 （1）作出在AC面恰好发生全反射时的光路图，结合折射定律并抓住AB面的折射角与AC面入射角之和为90°求解该棱镜材料的折射率；
（2）由几何关系求出光子AB与AC之间传播的距离，然后结合$n=\frac{c}{v}$求出光在介质中的速度，最后由x=vt即可求出时间．

解答 解：设光从AB边射入时折射角为α，射到AC面上N点时入射角为β，光路如图：

（i）根据折射定律：
n=$\frac{sin45°}{sinα}$  得：sinα=$\frac{sin45°}{n}$①
光在AC边上恰好发生全反射：
sinβ=$\frac{1}{n}$  ②
又由几何关系：α+β=90° 
则sin²α+sin²β=1③
将①②代入③解得：n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
（ii）由图中几何关系可得M、N间距：
x=$\frac{l}{sinα}$
由①可得：sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
用v表示光在棱镜内传播的速度：
v=$\frac{c}{n}$
光从AB边到AC边的传播时间：
t=$\frac{x}{v}$
解得：t=$\frac{3\sqrt{2}l}{2c}$
答：（i）该棱镜材料的折射率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$
（ii）光从AB边到AC边的传播时间是$\frac{3\sqrt{2}l}{2c}$．

点评 该题考查光的折射，几何光学画出光路图是解题的基础，常常是几何知识和折射定律的综合．