Question

3．如图所示，在无限长的水平边界AB和CD间有一匀强电场，同时在AEFC、BEFD区域分别存在水平向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小相同，EF为左右磁场的分界线．AB边界上的P点到边界EF的距离为（2+$\sqrt{3}$）L．一带正电微粒从P点的正上方的O点由静止释放，从P点垂直AB边界进入电、磁场区域，且恰好不从AB边界飞出电、磁场．已知微粒在电、磁场中的运动轨迹为圆弧，重力加速度大小为g，电场强度大小E（E未知）和磁感应强度大小B（B未知）满足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考虑空气阻力，求：
（1）匀强电场的场强E的大小和方向；
（2）O点距离P点的高度h多大；
（3）若微粒从O点以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平抛，且恰好垂直下边界CD射出电、磁场，则微粒在电、磁场中运动的时间t多长？

Answer 1

分析 （1）微粒在进入电磁场前做匀加速直线运动，在电磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，据此分析和求解场强的大小和方向．
（2）微粒在磁场中运动速率v₁时恰好与AB相切，画出运动轨迹，根据几何关系求出轨迹半径；由洛伦兹力公式和牛顿第二定律求出轨迹半径．微粒在进入电磁场前做匀加速直线运动，由动能定理可以求出O到P的距离h；
（3）微粒在进入电磁场前做平抛运动，在电磁场中做匀速圆周运动，根据微粒做圆周运动的周期公式求出微粒的运动时间．

解答 解：微粒带电量为q、质量为m，轨迹为圆弧，必有qE=mg．
则 E=$\frac{mg}{q}$，E的方向：竖直向上   
（2）微粒在磁场中运动速率v₁时恰好与AB相切，如图所示，O₁、O₂为微粒运动的圆心，O₁O₂与竖直方向夹角为θ，由几何知识知sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
微粒半径r₁，由几何关系有r₁+r₁sinθ=（2+$\sqrt{3}$）L，得r₁=2L．
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
由动能定理有 mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²；
已知 $\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，联立解得 h=$\frac{1}{2}$L
（2）微粒平抛到AB边界上的M点的时间为t₁，水平距离x₁，
由运动学公式有x₁=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$gt₁²
代入v₀=$\sqrt{3gL}$、h=$\frac{1}{2}$L，得t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$、x₁=$\sqrt{3}$L．
微粒在M点时竖直分速度 v₁=$\sqrt{gL}$，速度为 v=2$\sqrt{gL}$、与AB夹角为 θ=30°．微粒在磁场中运动半径 r₂=4L．由几何关系知微粒从M点运动30°垂直到达EF边界．
微粒在磁场中运动周期 T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$=4π$\sqrt{\frac{L}{g}}$
由题意有微粒运动时间t=$\frac{1}{3}$T+k•$\frac{T}{2}$，（k=0，1，2，…）
微粒运动时间t=2π（$\frac{2}{3}+k$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$．（k=0，1，2，…）
答：
（1）匀强电场的场强E的大小为$\frac{mg}{q}$，E的方向：竖直向上；
（2）O点距离P点的高度h为$\frac{1}{2}$L；
（3）微粒在电、磁场中运动的时间t为2π（$\frac{2}{3}+k$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$．（k=0，1，2，…）．

点评 本题考查了求距离、微粒的运动时间问题，分析清楚微粒运动过程，应用动能定理、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题，关键要抓住圆周运动的周期性．