Question

9．如图所示，ABC为竖直平面内的圆弧形光滑绝缘轨道，轨道的半径为R，AB段为四分之一圆弧，BC段为十二分之一圆弧，B为轨道的最低点．一质量为m，带电量q的小球，从离C点高度为H处自由下落，到A点后刚好切入圆弧轨道，后从C点射入匀强电场中，在电场中作直线运动．电场中的等势面是一族互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面的电势如图所示，重力加速度为g．问：

（1）小球带什么性质的电荷？电场强度的大小是多少？
（2）小球在电场中运动的最大位移有多大？

Answer 1

分析 （1）由题意，结合受力分析即可判断出小球的电性，求出电场强度；
（2）根据受力图，求出小球受到的合力，然后由动能定理即可求出．

解答 解：（1）由题图可知，该处电场的等势面是一族互相平行的竖直平面，则该电场是匀强电场，电场的方向水平向左．
小球从C点射入匀强电场后在电场中作直线运动，说明小球受到的合力的方向与速度的方向相同或相反．小球受到的重力的方向向下，若小球受到的电场力的方向向右，合力的方向不可能与速度的方向在同一条直线上；若小球受到的电场力的方向向左，则合力的方向向左下方，可能与小球速度的方向相反，在同一条直线上．电场力的方向向左时，与电场强度方向相同，所以小球带正电．小球的受力如图：

由题图，沿电场线的方向，距离为d上的电势差为U，所以电场强度：
$E=\frac{U}{d}$
（2）因为BC段为十二分之一圆弧，所以：$θ=\frac{1}{12}×360°=30°$
由受力分析图可得：$tanθ=\frac{mg}{qE}$
小球受到的合力：F=$\frac{qE}{cos30°}=\frac{qU}{d•\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}qU}{3d}$
小球到达C时的动能：E_kc=mgH-mgR（1-cos30°）
设小球在电场中运动的最大位移为x，则：-Fx=0-E_kc
所以：x=$\frac{mgH-mgR（1-cos30°）}{\frac{qE}{cos30°}}$=$\frac{mg}{qE}•[H-R（1-cos30°）]•cos30°$=tan30°•[H-R（1-cos30°）]•cos30°=[H-R（1-cos30°）]•sin30°=$\frac{1}{2}（H-R+\frac{\sqrt{3}}{2}R）$
答：（1）小球带正电荷，电场强度的大小是$\frac{U}{d}$；
（2）小球在电场中运动的最大位移是$\frac{1}{2}（H-R+\frac{\sqrt{3}}{2}R）$．

点评 该题中，小球先在重力的作用下运动，后在重力与电场力的共同作用下运动，根据小球在复合场中做匀速直线运动的特点，判断出合力的方向，求出电场力与重力之间的关系是解答该题的关键．