Question

（2009?烟台二模）如图所示，竖直放置的光滑半圆形轨道与光滑水平面AB相切于B点，半圆形轨道的最高点为C．轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端有一质量为0.1kg的小球（小球与弹簧不相连）．用力将小球向左推，小球将弹簧压缩一定量时用细绳固定住．此时弹簧的弹性势能为4.05J．烧断细绳，弹簧将小球弹出．取g=10m/s²，求
（1）欲使小球能通过最高点C，则半圈形轨道的半径最大为多少？
（2）欲使小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离最大，则半圆形轨道的半径为多大？落点至B点的最大距离为多少？

Answer 1

分析：（1）小球从弹簧释放到运动到最高点的过程，可分两个过程：弹簧释放过程、小球离开弹簧到运动到最高点的过程．弹簧释放过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即可求出小球获得的初速度．B到C的过程，小球的机械能守恒．在C点，由重力和轨道的弹力的合力提供向心力，根据机械能守恒和牛顿第二定律结合求解；
（2）小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动的规律和机械能守恒结合得到小球平抛水平距离与轨道半径的关系，运用数学知识求极值．

解答：解：（1）弹簧释放过程，由EP=

1

2

m

v

2 1

…得 v₁=

2EP m

=9m/s
B到C的运动过程中，由机械能守恒得

1

2

m

v

2 1

=mg(2r)+

1

2

m

v

2 2

…
在C点有  mg+N=m

v 2 2

r

…
由N≥0
得r≤

81

50

m…
得rm=

81

50

=1.62m…
（2）小球做平抛运动过程，y=

1

2

gt2=2r…x=v₃t
由系统机械能守恒得  EP=mg(2r)+

1

2

m

v

2 3

…
由以上得x=

(8.1-4r)4r

…
根据数学知识得：当（8.1-4r）=4r时，x有极值
即r=

8.1

8

=1.01m时              
得 x_m=4r=4.04m
答：
（1）欲使小球能通过最高点C，则半圈形轨道的半径最大为1.62m．
（2）欲使小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离最大，则半圆形轨道的半径为1.01m，落点至B点的最大距离为4.04m．

点评：本题是机械能守恒、牛顿第二定律和平抛运动的综合，要掌握力学基本规律，同时要能运用数学知识求极值．