Question

14．如图所示，无限长金属导轨EF、PQ固定在倾角为θ=53°的光滑绝缘斜面上，轨道间距L=1m，底部接入一阻值为R=0.4Ω的定值电阻，上端开口．整个空间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T．一质量为m=0.5kg的金属棒ab与导轨接触良好，ab与导轨间的动摩擦因数μ=0.2，ab连入导轨间的电阻r=0.1Ω，电路中其余电阻不计．现用一质量M=2.86kg的物体通过一不可伸长的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab相连．由静止释放M，当M下落高度h=2.0m时，ab开始匀速运动（运动中ab始终垂直导轨，并接触良好）．不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．求
（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度V_m
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内流过电阻R的总电荷量q．
（3）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的焦耳热Q_R．

Answer 1

分析 （1）当ab棒匀速运动时，速度最大，此时拉力等于Mg，隔离对棒分析，根据共点力平衡以及切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律求出最大速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律结合欧姆定律求出平均电流，结合电流的定义式求出这段时间内流过电阻R的总电荷量q．
（3）根据能量守恒求出整个回路产生的热量，从而得出这段时间内电阻R上产生的焦耳热Q_R．

解答 解：（1）当ab棒匀速时，M也匀速，所以绳的拉力为：F_T=Mg，
ab棒受安培力为：F=BIL，其中I=$\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$，
ab棒受力平衡，有：F_T-mgsin53°-μmgcos53°-F=0，
代入数据解得：v_m=3m/s．
（2）该过程电路的平均电动势为：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLh}{△t}$，
该过程电路的平均电流为：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$，
流经R的电荷量为：q=$\overline{I}△t=\frac{BLh}{R+r}=\frac{2×1×2}{0.4+0.1}C=8C$．
（3）由系统的能量守恒得：Mgh=mghsin53°+μmghcos53°+$Q+\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{m}}^{2}$，
电阻R上产生的焦耳热为：${Q}_{R}=Q•\frac{R}{R+r}$，
代入数据解得：Q_R=26.3J．
答：（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度为3m/s；
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内流过电阻R的总电荷量为8C；
（3）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的焦耳热为26.3J．

点评 本题有两个关键：一是推导安培力与速度的关系；二是推导感应电荷量q的表达式，对于它们的结果要理解记牢，有助于分析和处理电磁感应的问题．