Question

17．如图所示，直角坐标系的x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，在y＞0的区域中有竖直向下的匀强电场E₁，在第四象限存在竖直向上的匀强电场E₂和垂直于xoy平面、水平向外的匀强磁场B，一质量为m，电荷量+q的带电质点，以v₀的初速度从第二象限内的A点（-2h，2h）水平抛出，经过x轴上的P点（2h，0）进入第四象限，在第四象限内恰好做匀速圆周运动，且运动半周后进入第三象限．已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度E₁的大小和质点到达P点时的速度；
（2）第四象限内的电场强度E₂和磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场E₁中做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解E₁的大小；根据速度的合成求解质点到达P点时的速度．
（2）带电粒子进入第四象限后，电场力与重力平衡，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．据此可求得E₂．由题意画出质点的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B的大小．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场E₁中做类平抛运动，则
沿x轴方向：4h=v₀t ①
沿y轴方向：2h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{1}}{m}{t}^{2}$  ②
由①②式得：E₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4qh}$ ③
设质点到达P点时沿y轴方向的速度为v_y，则
  2h=$\frac{{v}_{y}}{2}t$  ④
由①、④解得：v_y=v₀；⑤
到达P点时的速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$ ⑥
速度和x轴方向的夹角为45°．
（2）质点在第四象限内恰好做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，则有
  mg=qE₂，E₂=$\frac{mg}{q}$ ⑦
画出质点的运动轨迹，如图，由几何关系可得质点的轨迹半径为 r=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2h=$\sqrt{2}$h ⑧
由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ⑨
解得 B=$\frac{m{v}_{0}}{qh}$ （10）
答：
（1）电场强度E₁的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4qh}$，质点到达P点时的速度是$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）第四象限内的电场强度E₂是$\frac{mg}{q}$，磁感应强度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{qh}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．