Question

14．如图所示，在xOy平面的x＜0区域内存在匀强电场，方向沿y轴正方向，而在0≤x≤L，-1.5L≤y≤1.5L的区域I内存在匀强磁场，磁感应强度大小B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$、方向垂直纸面向外，区域Ⅱ处于L≤x≤2L、-1.5L≤y≤1.5L，现有一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标为（-2L，-$\sqrt{2}$L）的A点以速度v₀沿+x方向射入xOy平面，恰好经过坐标为[0，-（$\sqrt{2}$-1）L]的C点，粒子重力忽略不计，求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标；
（3）要使粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场，可在区域Ⅱ内加垂直纸面向里的匀强磁场B₂，试确定磁感应强度B₂的大小范围，并说明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与y轴正方向夹角θ的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，将运动沿xy轴分解，根据动为学规律即可求解；
（2）由运动学公式求出粒子在C点竖直分速度，结合初速度可算出C点的速度大小与方向．当粒子进入磁场时，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可确定运动的半径．最后由几何关系可得出离开区域Ⅰ时的位置坐标；
（3）根据几何关系确定离开磁场的半径范围，再由半径公式可确定磁感应强度的范围及粒子离开区域Ⅱ时的速度方向．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动：2L=v₀t
L=$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t²

联立解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$
（2）设带电粒子经C点时的竖直分速度为v_y、速度为v
v_y=$\frac{qE}{m}$t 得：v_y=v₀
v=$\sqrt{2}$v₀，方向与x轴正向成45°斜向上
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，B₁qv=m$\frac{v2}{R}$，
R=$\frac{\sqrt{2}mv0}{qB1}$
解得：R=$\sqrt{2}$L
由几何关系知，离开区域Ⅰ时的位置坐标：x=L　y=0，即（L，0）
（3）根据几何关系知，带电粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场的半径]满足：$\frac{3}{4}$L≤r≤L
B₂qv=m$\frac{v2}{r}$
解得：$\frac{\sqrt{2}mv0}{qL}$≤B₂≤$\frac{4\sqrt{2}mv0}{3qL}$
根据几何关系知，带电粒子离开磁场时速度方向与y轴正方向夹角30°≤θ≤90°
答：（1）匀强电场的电场强度大小是$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$；
（2）粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标是（L，0）；
（3）磁感应强度B₂的大小范围是$\frac{\sqrt{2}mv0}{qL}$≤B₂≤$\frac{4\sqrt{2}mv0}{3qL}$，粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与y轴正方向夹角θ的范围是30°≤θ≤90°．

点评 本题涉及了类平抛运动、匀速圆周运动，学会处理这两运动的规律：类平抛运动强调运动的分解，匀速圆周运动强调几何关系确定半径与已知长度的关系．