Question

4．如图所示，质量为m=1.0kg的小物块从一半径为R=0.5m的四分之一光滑圆弧轨道顶点A静止开始下滑，滑到圆弧最低点B后，滑上长为L=2m的水平桌面，水平桌面上沿运动方向粘贴了一段长度未知的粗糙纸面，桌面其它部分光滑，小物块与粗糙纸面的动摩擦系数为μ=0.25．小物块滑出桌面后做平抛运动，桌面离地高度h和物体水平飞行距离s都是1.0m（重力加速度g取10m/s²）．求：
（1）在圆弧最低点B处物块对轨道的压力为多大？
（2）未知粗糙纸面的长度x为多少？
（3）粗糙纸面放在何处，滑块从B端滑过桌面用时最短，最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）对从A到B的过程应用机械能守恒求得在B处的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据平抛运动规律求得在桌面右边界的速度，然后对物块在桌面上的运动应用动能定理即可求得x；
（3）根据物块在桌面上的运动情况打球的纸面位置，然后由匀速运动、匀变速运动规律求得运动时间．

解答 解：（1）物块从A到B只有重力做功，机械能守恒，故有$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，${v}_{B}=\sqrt{2gR}=\sqrt{10}m/s$；
对物块在B处应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=2mg$，
故由牛顿第三定律可得：在圆弧最低点B处物块对轨道的压力为F_N′=F_N=3mg=30N；
（2）物块滑出桌面后做平抛运动，设物块在桌面边缘的速度为v，则由平抛运动位移功率可得：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=vt，那么，$v=\frac{s}{t}=\frac{s}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\sqrt{5}m/s$；
对物块在桌面上的运动过程应用动能定理可得：$-μmgx=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-\frac{5}{2}J$，所以，x=1m；
（3）物块在粗糙纸面上做初速度为v_B，加速度为μg，末速度为v的匀减速运动，运动时间恒定；在纸面左侧的部分物块以v_B匀速运动，在纸面右侧的部分物块以v匀速运动；
故要使从B端滑过桌面用时最短，粗糙纸面的右边界和桌面右边界重合；
最短时间为$T=\frac{L-x}{{v}_{B}}+\frac{x}{\frac{1}{2}（{v}_{B}+v）}=\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}（s）$=$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}（s）$；
答：（1）在圆弧最低点B处物块对轨道的压力为2mg；
（2）未知粗糙纸面的长度x为1m；
（3）粗糙纸面的右边界和桌面右边界重合时，滑块从B端滑过桌面用时最短，最短时间为$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}（s）$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．