Question

12．北京正负电子对撞机是国际上唯一高亮度对撞机，它主要由直线加速器、电子分离器、环形储存器和对撞测量区组成，图（甲）是对撞测量区的结构图，其简化原理如图（乙）所示：MN和PQ为足够长的水平边界，竖直边界EF将整个区域分成左右两部分，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外．调节磁感应强度的大小可以使正负电子在测量区内不同位置进行对撞．经加速和积累后的电子束以相同速率分别从注入口C和D同时入射，入射方向平行EF且垂直磁场．已知注入口C、D到EF的距离均为d，边界MN和PQ的间距为4$\sqrt{3}$d，正、负电子的质量均为m，所带电荷量分别为+e和-e．

（1）判断从注入口C、D入射的分别是哪一种电子；
（2）若将Ⅱ区域的磁感应强度大小调为B，正负电子以v₁=$\frac{2deB}{m}$的速率同时射入，则正负电子经多长时间相撞？
（3）若电子束以v₂=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率入射，欲实现正负电子对撞，求Ⅱ区域磁感应强度B_Ⅱ的大小．

Answer 1

分析 （1）直接由左手定则可判定；
（2）做出电子射入后的轨迹，由洛伦兹力提供向心力结合周期公式和数学知识联立解得相撞时间；
（3）做出示意图，由洛伦兹力提供向心力结合数学知识得出磁感强度的通式，要保证对撞，正负电子的轨迹既不能超过上下边界，又不能彼此相切，找到需满足的条件，讨论分析得到）Ⅱ区域磁感应强度B_Ⅱ的大小有3个值．

解答 解：（1）由左手定则可知，从C入射的为正电子，从D入射的为负电子；
（2）电子射入后的轨迹如图甲所示

电子在Ⅰ、Ⅱ区域中运动时半径相同，设为r
由eBv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$ 得：r=2d
cosθ=$\frac{r-d}{r}$=$\frac{1}{2}$，得：θ=60⁰
T=$\frac{2πm}{eB}$
对撞时间：t=2×$\frac{T}{6}$=$\frac{2πm}{3eB}$
（3）如图乙所示，由eBv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{0}}$ 得 r₀=（2-$\sqrt{2}$）d

由cosα=$\frac{d-{r}_{0}}{{r}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 α=45⁰
所以x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r₀=（$\sqrt{2}$-1）d
假定对撞的一种情况如图丙所示．有：4$\sqrt{3}$d=4x+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$R₂

经分析得通解式为4$\sqrt{3}$d=2nx+2n×$\frac{\sqrt{2}}{2}$R_n ①
又eB_nv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{n}}$ ②
联立解得 B_n=$\frac{nB}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-n}$（n为正整数）③
要保证对撞，正负电子的轨迹既不能超过上下边界，又不能彼此相切，需满足：x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$R_n＞R_n ④
可得：n＞$\sqrt{6}$
因$\frac{4\sqrt{3}d}{{r}_{0}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}$≈11.8，故Ⅰ区中沿EF方向最多只能有10个r₀，即2个八分之三圆弧和4个八分之六圆弧，经分析可得：n≤5
所以n=3、4、5，B_Ⅱ的3个值为：$\frac{3B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-3}$、$\frac{2B}{\sqrt{6}+\sqrt{3}-2}$、$\frac{5B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-5}$．
 答：（1）从C入射的为正电子，从D入射的为负电子；
（2）正负电子经$\frac{2πm}{3eB}$时间相撞；
（3）Ⅱ区域磁感应强度B_Ⅱ的大小有3个值为：$\frac{3B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-3}$、$\frac{2B}{\sqrt{6}+\sqrt{3}-2}$、$\frac{5B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-5}$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．