Question

11．一带有$\frac{1}{4}$圆弧形的槽固定在水平桌面上，如图所示，现用一不可伸长的细绳（长度大于$\sqrt{2}$R两端连接两个质量分别为m₁、m₂的可视为质点的小球a和b，开始球a位于槽的最高点A处，整个装置处于静止状态，其中B为弧形槽的最低点且与桌面的左边缘平齐．已知m₁＞m₂，弧形槽的半径为R，B点距离地面的高度为2R，忽略一切摩擦，求：
（1）当装置由静止释放，为使小球a能够到达B点，则两球的质量应满足什么条件？
（2）如果小球a到达B点时细绳突然断裂，则小球a的落地点到桌子边缘的水平间距多大？

Answer 1

分析 （1）装置由静止释放后，两球构成的系统的机械能守恒，根据机械能守恒定律和两球的速度关系列式，得到a球到达B点速度的表达式，根据小球a能够到达B点的速度应大于等于零，求出两球的质量关系．
（2）小球a到达B点时细绳突然断裂，a球做平抛运动，由分运动的规律求解．

解答 解：（1）设a球滑到B点时的速度为v₁，此时b球的速度为v₂．由系统的机械能守恒得：
m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又因为 v₂=v₁cos45°
由以上两式解得：v₁=$\sqrt{\frac{4（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
因此要使a能够到达B点，应满足 v₁≥0，且v₂≥0，则得：
（m₁-$\sqrt{2}$m₂）gR≥0
所以有：m₁≥$\sqrt{2}$m₂．
（2）小球a到达B点时细绳突然断裂后做平抛运动，则有：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v₁t
解得：x=4R$\sqrt{\frac{{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
答：（1）两球的质量应满足的条件是 m₁≥$\sqrt{2}$m₂．
（2）小球a的落地点到桌子边缘的水平间距是4R$\sqrt{\frac{{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．

点评 本题是绳系系统机械能守恒问题，要知道两球沿绳子方向的分速度相等，系统的机械能是守恒的，但对单个小球机械能并不守恒．