Question

5．如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g=10m/s²．求：

（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力；
（2）物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能；
（3）物块仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

Answer 1

分析 （1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理列式求解最高点的速度；在圆弧轨道的最高点，重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力；
（2）只有在PQ阶段有机械能损失，对从Q到P过程，根据牛顿第二定律求解加速度，根据位移公式求解时间，根据速度公式求解末速度；从P点到最左端过程，弹簧获得的最大弹性势能等于在P位置的动能；
（3）先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度，然后对运动的全程根据动能定理列式求解l的距离．

解答 解：（1）物块冲上圆形轨道最高点B时速度为v，由机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$…①
物块到B点，由牛顿运动定律得：$N+mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$…②
联立①②式并代入数据解得N=40N…③
由牛顿第三定律，物块对轨道压力大小为40N，方向为竖直向上…④
（2）物块在Q点时速度为v₀=6 m/s，在PQ运动时，由牛顿运动定律有：μmg=ma…⑤
由运动规律$l={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑥
联立⑤⑥式并代入数据解得在PQ段运动时间  t=0.5s…⑦
设物块在P点时速度为v₁，有${{v}_{1}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2μgl$…⑧
由能量守恒，物块压缩弹簧，动能转化为弹性势能，有${E}_{Pm}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$…⑨
联立⑧⑨式代入数据解得：E_pm=8J…⑩
（3）物块以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧Q点时速度为v₂，有$-2μmgl=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$⑪
  要使物块恰能不脱离轨道返回A点，则物块能沿轨道上滑至最高点且在最高点的速度大小为v₃，则满足$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$…⑫
且$mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$…⑬
联立⑪⑫⑬式代入数据解得：L=1 m
答：（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；
（2）物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能为8J；
（3）物块仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是1m时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

点评 本题综合考查了运动学公式、向心力公式、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．