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精英家教网近几年来，人们对火星表现出空前热情，2003年一年之间先后有四颗探测器朝着火星绝尘而去．如图所示，假设地球的质量为M，某探测器的质量为m，地球的半径为R0，地球表面附近的重力加速度g，已知重力势能Ep=-G
Mm
r
，其中r为探测器到地球球心的距离．若不考虑地球、火星的自转和一切空气阻力的影响．
（1）试证明：从地面将该探测器发射至半径为r的运行轨道，发射速度v=
gR0(2-
R0
r
)
．
（2）取R0=6.4×106m，地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2，试以上式求出发射速度的最小值和最大值．
（3）假设该探测器在火星上软着陆时第一次弹起的最大高度为h，水平速度为v1，第二次着陆时速度为v2．求火星表面的重力加速度g火．
分析：（1）地球对探测器的万有引力作其在运动轨道做匀速圆周运动的向心力即：G
Mm
r 2
=m
v 运 2
r
，
又地球表面的重力等于万有引力G
Mm
R 0  2
=mg，
探测器发射时具有的机械能为E1=
1
2
mv 2-G
Mm
R 0
，
进入运行轨道后具有的机械能为E2=
1
2
mv 运 2-G
Mm
r
，
由能量守恒定律，探测器在地球的引力场中运动时的总机械能不变，即：E1=E2
联立以上各式可以解得发射速度．
（2）当探测器贴近地球表面做匀速圆周运动时，r=R0，此时所需发射速度最小，为vmin=
gR0
，代入数据计算即可．
即当探测器摆脱地球的吸引时，所需发射速度最大，为vmax=
2gR0
，即为第二宇宙速度，代入数据计算即可．
（3）第二次着陆，由机械能守恒有：mg 火h+
1
2
mv
 
2
 1
=
1
2
mv
 
2
 2
，化简可得火星表面的重力加速度．
解答：解：（1）设探测器在运行轨道做匀速圆周运动的速度为v运，
地球对探测器的万有引力提供其在运动轨道做匀速圆周运动的向心力，
即：G
Mm
r 2
=m
v 运 2
r
--------①
又G
Mm
R 0  2
=mg----------②
探测器发射时具有的机械能为E1=
1
2
mv 2-G
Mm
R 0
------③
进入运行轨道后具有的机械能为E2=
1
2
mv 运 2-G
Mm
r
----④
由能量守恒定律，探测器在地球的引力场中运动时的总机械能不变，即：E1=E2----⑤
①②③④⑤联立解得：v=
gR0(2-
R0
r
)
----------⑥
（2）如果r=R0，即当探测器贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小，
为vmin=
gR0
=7.9×103m/s．（此为第一宇宙速度）--------⑦
如果r→∞，即当探测器摆脱地球的吸引时，所需发射速度最大，
为vmax=
2gR0
=11.2×103m/s．（此为第二宇宙速度）-------⑧
（3）探测器从高度为h到第二次着陆，由机械能守恒有：mg 火h+
1
2
mv
 
2
 1
=
1
2
mv
 
2
 2
------⑨
得出火星表面的重力加速度为：g 火=
v  2 2-v  1 2
2h
------⑩
答：（1）证明如上．
（2）发射速度的最小值为7.9×103m/s，最大值为11.2×103m/s．
（3）火星表面的重力加速度g 火=
v  2 2-v  1 2
2h
．
点评：本题把天体运动和能量守恒结合了起来，要掌握地球对探测器的万有引力提供探测器在运动轨道上做匀速圆周运动所需要的向心力G
Mm
r 2
=m
v 运 2
r
，地球表面的重力等于万有引力G
Mm
R 0  2
=mg．此题综合能力要求较高，有一定的难度，属于难题．
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