Question

2．以一对带有等量异种电荷的平行板作为电子的转向装置，其中带正电的下板上挖有相距1.0cm的两个小缝，如图所示．设有一电子以4.55×10^-19J的动能与竖直方向成45°角从一缝射入，由另一缝射出，而且电子的射入方向与射出方向的夹角为90°，电子从缝射出后，沿半径方向经过筒上的小孔射入一横截面如图所示的绝缘圆筒内，筒内有垂直于纸面向外的匀强磁场，电子与圆筒发生两次碰撞后从圆筒上另一小孔射出，射出圆筒时电子运动的方向与进入电场时的方向相反．设电子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变．已知电子的质量为9.1×10^-31kg，带电荷量为-1.6×10^-19C，圆筒半径为R=10cm，在不计重力的情况下，求：
（1）电子射入平行板时的速度大小及进入电场后的运动情况；
（2）平行板间的电场强度大小；
（3）圆筒内磁场的磁感应强度大小．

Answer 1

分析 （1）已知电子射入平行板时的动能和质量，由动能的计算式E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，求电子的速度大小．根据电子的受力情况，运用运动学分解法分析其运动情况．
（2）将电子的运动分解为沿平行于板的方向和垂直于板的方向，根据平行于板方向的分位移公式求出电子在电场中运动的时间，由垂直于板方向的速度公式和牛顿第二定律求电场强度．
（3）电子在磁场中作匀速圆周运动，画出其运动轨迹，分析轨迹的圆心角，由几何知识求出轨迹半径，再由牛顿第二定律求磁感应强度．

解答 解：（1）根据E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$得 v₀=$\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×4.55×1{0}^{-19}}{9.1×1{0}^{-31}}}$=1×10⁶m/s
因为平行板中的电场为匀强电场，电子在电场中受到的电场力是恒力，方向垂直于极板，则电子在垂直板的方向的加速度a为定值，沿平行板方向的运动是匀速运动，垂直于板的方向做匀变速直线运动，故电子的运动是匀变速曲线运动．
（2）电子在电场中运动时，将v₀沿平行于板的方向和垂直于板的方向分解，根据运动的合成和分解知：
  x=（v₀cos45°）t
  v₀sin45°=a$•\frac{t}{2}$=$\frac{eE}{m}•\frac{t}{2}$
联立得 E=$\frac{2{v}_{0}^{2}mcos45°sin45°}{xe}$=5.69×10²N/C
（3）电子从电场射出时速度大小 v=v₀=1×10⁶m/s
电子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为O′、半径为r的轨迹圆，设第一次碰撞点为A，由于电子与圆筒发生了两次碰撞又从C孔射出，电子运动的方向与进入电场时的方向相反，因此，SA轨迹弧所对的圆心角等于$\frac{π}{2}$
   由几何关系可得 r=R=10cm=0.1m
电子运动过程中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得 evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 B=$\frac{mv}{er}$=5.69×10^-5T
答：
（1）电子射入平行板时的速度大小为1×10⁶m/s，进入电场后电子作匀变速曲线运动；
（2）平行板间的电场强度大小是5.69×10²N/C；
（3）圆筒内磁场的磁感应强度大小是5.69×10^-5T．

点评 解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．该题对空间思维的能力要求比较高．