Question

17．如图所示，一端密封的均匀长直玻璃管长为l，竖直放置并开口向上，开口断有一段长为h的汞柱将一定质量的理想气体封在管内，大气压强为p₀，汞密度为ρ，若从开口端再加少量汞，保持温度不变，汞不溢出，则管长l应满足什么条件？

Answer 1

分析 结合液体产生的压强的特点，先求出气体的状态参量，然后又玻意耳定律求出气体的压强，然后求出注入水银柱的高度，结合数学知识分析管长具有的条件．

解答 解：设加了少量汞后，汞柱长为h′，以封闭气体为研究对象
初态：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh$          ${V}_{1}^{\;}=（L-h）S$
末态：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh′$        ${V}_{2}^{\;}=（L-h′）S$
根据玻意耳定律，有：
${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
即为：$（{p}_{0}^{\;}+ρgh）（L-h）S=（{p}_{0}^{\;}+ρgh′）（L-h′）S$
解得：$h′=\frac{（{p}_{0}^{\;}-ρgL）±\sqrt{（{p}_{0}^{\;}-ρgL）_{\;}^{2}-4ρg（ρghL-{p}_{0}^{\;}h-ρgρ{h}_{\;}^{2}）}}{2ρg}$
利用数学知识可得，如果${p}_{0}^{\;}＞ρgL$，则$L＞\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$
如果${p}_{0}^{\;}＜ρgL$，则$L＜\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$
答：管长满足的条件是①如果${p}_{0}^{\;}＞ρgL$，则$L＞\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$②如果${p}_{0}^{\;}＜ρgL$，则$L＜\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$

点评 本题考查了求气体压强的求法与玻意耳定律，分析清楚气体状态变化过程，应用玻意耳定律即可正确解题，本题体现了应用数学知识解决物理问题的能力．