题目内容

6．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接一口深为H，宽度为d的深井CDEF，一个质量为m的小球放在曲面AB上，可从距BC面不同的高度处静止释放小球，已知BC段长L，小球与BC间的动摩擦因数为μ，取重力加速度g=10m/s2，则：
（1）若小球恰好落在井底E点处，求小球释放点距BC面的高度h1；
（2）若小球不能落在井底，求小球打在井壁EF上的最小动能Ekmin和此时的释放点距BC面的高度h2．

分析 （1）从A到C对小球运用动能定理，小球从C点开始做平抛运动，运用平抛运动的规律，联立即可求出小球释放点距BC面的高度h1；
（2）从A到C对小球运用动能定理，求出小球打中井壁EF上的动能Ek，运用数学基本不等式求其最小值，即可求出高度h2满足的条件．

解答 解：（1）从A到C对小球运用动能定理可得：mgh1-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0…①
小球从C到E根据平抛规律有：d=vCt…②
H=$\frac{1}{2}{gt}^{2}$…③
联立①②③式可得：h1=$\frac{{d}^{2}}{4H}+μL$
（2）从A到C对小球运用动能定理可得：mgh2-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0…④
设小球从C到井壁EF的过程中竖直方向的位移为H′，根据平抛规律有：d=vCt，vy=gt=g•$\frac{d}{{v}_{C}}$
打在井壁EF上的速度：v=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
小球打在井壁EF上的动能：Ek=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立可得：Ek=$\frac{1}{2}$m（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）
根据数学知识可知：${v}_{C}^{2}$与$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$的乘积为定值g2d2，故（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）有最小值，
当且仅当：${v}_{C}^{2}$=$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$时，（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）取最小值，即：${v}_{C}^{2}$=gd⑤
此时EK取最小值：Ekmin=$\frac{1}{2}$m（${v}_{C}^{2}$+$\frac{{g}^{2}{d}^{2}}{{v}_{C}^{2}}$）=mgd=10md
联立④⑤式可得：h2=$\frac{d}{2}+L$
答：（1）若小球恰好落在井底E点处，求小球释放点距BC面的高度h1为$\frac{{d}^{2}}{4H}+μL$；
（2）若小球不能落在井底，小球打在井壁EF上的最小动能Ekmin为10md和此时的释放点距BC面的高度h2为$\frac{d}{2}+L$．

点评 本题考查动能定理的综合运用，难点在于数学方法的运用，解题关键是要分好过程，明确每一个过程的运动形式，选择合适的规律解决，第二问求动能最小值用到数学的基本不等式，是一道数学在物理上的应用问题．

练习册系列答案
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12．下列说法正确的是（　　）
A．β射线与γ射线一样都是电磁波，但穿透本领远比γ射线弱
B．${\;}_{92}^{238}$U哀变成${\;}_{82}^{206}$Pb要经过6次β衰变和8次α衰变
C．放射性元素发生β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化为质子时产生的
D．裂变过程和聚变过程都有质量亏损
13．某同学设计一个测定平抛运动初速度的实验装置，设计示意图如图所示．O点是小球抛出点，在O点有一个点光源．在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，紧贴毛玻璃有一把竖直放置的刻度尺．当小球抛出后，在毛玻璃上有小球的投影．毛玻璃右边用频率为30Hz的频闪相机，拍摄投影的照片． 照片上有三个连续投影点A、B、C，由刻度尺读出A、B间距离为△h1=5cm，B、C 间距离为△h2未读出．测得图中O点与毛玻璃水平距离L=1.2m．则 （　　）
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10．做匀加速直线运动的质点，在第一个3s内的平均速度比它在第一个5s内的平均速度小3m/s．则质点的加速度大小为（　　）
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1．如图所示，两根平行放置的长直导线a和b载有方向相同的电流，i1大于i2，a受到的磁场力大小为F1，此时b受到的磁场力大小为F2，则（　　）
A．F1=F2，为吸引力B．F1=F2 ，为排斥力C．F1＞F2，为吸引力D．F1＜F2 ，为排斥力
11．如图所示，水平地面上紧靠放置着两长木板B、C（未粘连）．每块木板的质量M=2kg，在B木板的左侧放置着质量为m=1kg的木块A（可视为质点）．A与B、C间的动摩擦因数均为μ1=0.4，现对A施加水平向右的恒定拉力F=6N，测得A在B、C上各滑行了1s后，从C的右端离开木板．求：
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18．如图所示，水平的粗糙轨道与竖直的光滑圆形轨道相连，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续沿水平轨道运动．圆形轨道半径R=0.2m，右侧水平轨道BC长为L=4m，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h=1m，水平距离s=2m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s2．小球从圆形轨道最低点B以某一水平向右的初速度出发，进入圆形轨道．试求：
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15．关于热力学定律，下列说法正确的是（　　）
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B．对气体做功可以改变其内能
C．理想气体等压膨胀过程一定放热
D．热量不可能从低温物体传到高温物体
16．如图，我国发射的“嫦娥二号”卫星运行在距月球表面100km的圆形轨道上，到A点时调整成沿椭圆轨道运行，至距月球表面15km的B点作近月拍摄，以下判断正确的是（　　）
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B．卫星从圆轨道进入椭圆轨道须减速制动
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