Question

16．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点间的距离为L；若抛出时的初速度不变，高度增大到原来的2倍，则抛出点到落地点间的距离为$\sqrt{3}$L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G．
求：（1）该星球表面的重力加速度g是多少？
（2）该星球的密度ρ是多少？

Answer 1

分析 （1）运用平抛运动规律表示出抛出点与落地点之间的距离求解星球表面重力加速度．
（2）求出重力加速度，再结合金代换$GM=g{R}_{\;}^{2}$，可求的星球质量，再根据密度等于质量除以体积求解．

解答 解：（1）抛出点高度h、水平射程x与L之间有关系：L²=h²+x²
当初速度不变，抛出高度增加到原来的2倍时，水平射程增加到原来$\sqrt{2}$x，
则有${（\sqrt{3}L）^2}={（2h）^2}+{（\sqrt{2}x）^2}$
解得  $h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$又$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
所以$g=\frac{{\sqrt{2}L}}{t^2}$
（2）在星球表面上$G\frac{Mm}{R^2}=mg$得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
所以$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$=$\frac{3g}{4πRG}=\frac{{3\sqrt{2}L}}{{4πRG{t^2}}}$  
答：（1）该星球表面的重力加速度g是$\frac{\sqrt{2}L}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）该星球的密度ρ是$\frac{3\sqrt{2}L}{4πRG{t}_{\;}^{2}}$

点评 本题提供了利用重力加速度估测星球质量的一种方法，利用平抛运动的分位移和合位移关系公式计算出重力加速度是关键