Question

4．如图所示，水平固定的光滑U形金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，框架通过一只电阻R在左端连接有一电容为C的电容器（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒ab一个初速度v₀，使棒始终垂直框架并沿框架运动，最终达到稳定状态．
（1）试求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量；
（2）试画出电容器的带电量Q随两端电压U的变化曲线，并根据曲线求出电容器上储存的能量；
（3）不计电路向外界辐射的能量，试求出电阻R上消耗的能量．

Answer 1

分析 （1）由动量定理与电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$可以求出电容器所带的电荷量．
（2）根据U=CU作出图象，然后根据图象面积求出电热器储存的能量．
（3）由能量守恒定律求出电阻消耗的电能．

解答 解：（1）当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，电路达到稳定状态，电路中没有充电电流，电容两端电压等于电动势即：E=BLv=U_C …①
电容器两端电压：U_C=$\frac{{Q}_{C}}{C}$…②
对导体棒ab，由动量定理可得：
-BLQ_c=mv-mv₀ …③
由①②③式联立可求得：v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$…④，
电容器的电荷量：Q_C=CBLv=$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$…⑤；
（2）由①④可得：U=$\frac{BLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
电容器的电荷量：Q=CU，Q-U图象如图所示：
电容器上储存的能量：E_C=$\frac{1}{2}$QU=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
（2）由能量守恒定律得，电阻消耗的能量：
E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²-E_C=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{2}-{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
答：（1）求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量为$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$；
（2）电容器的带电量Q随两端电压U的变化曲线如图所示，电容器上储存的能量为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
（3）电阻R上消耗的能量为$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{2}-{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$．

点评 本题考查了求电荷量、能量问题，分析清楚金属棒的运动过程，应用电容的定义式、动量定理、能量守恒定律即可正确解题．