Question

13．匀强电场的方向沿x轴正向，电场强度E随x的分别如图所示，图中E₀和d均为已知量，将带正电的质点A在O点由能止释放，A离开电场足够远后，再将另一带正电的质点B放在O点也由静止释放，当B在电场中运动时，A、B间的相互作用力及相互作用能均为零；B离开电场后，A、B间的相作用视为静电作用，已知A的电荷量为Q，A和B的质量分别为m和$\frac{m}{8}$，不计重力．
（1）求A在电场中的运动时间t；
（2）若B的电荷量q=Q，求两质点相互作用能的最大值E_max；
（3）为使B先后共三次经过x=d的点，求B所带电荷量应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）A在电场中时，在电场力作用下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求得加速度，由运动学位移公式求解运动时间t；
（2）分析A、B的运动情况：A、B相互作用的过程中，A、B间相互作用力为斥力，A受力方向与其运动方向相同做加速运动，B受力方向与其运动方向相反做减速，当两者速度相同，最接近时，相互作用能最大，根据动量守恒和能量守恒，列式求解相互作用能的最大值E_Pm；
（3）研究A、B在x＞d区间的运动过程，根据系统的动量守恒和能量守恒，列式，得到B的速度v_B表达式，B能返回，则需要改变运动方向，v_B＜0，即可求出B所带电荷量的最小值q_m．

解答 解：（1）由牛顿第二定律，A在电场中运动的加速a=$\frac{F}{m}$=$\frac{Q{E}_{0}}{m}$
   A在电场中做匀变速直线运动   d=$\frac{1}{2}$at²
解得运动时间t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2dm}{Q{E}_{0}}}$
（2）设A、B离开电场的速度分别为v_A0、v_B0，由动能定理，有
     QE₀d=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$，qE₀d=$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$ 
得：${v}_{A0}=\sqrt{\frac{2Q{E}_{0}d}{m}}$，${v}_{B0}=4\sqrt{\frac{q{E}_{0}d}{m}}$①
A、B相互作用的过程中，动量和能量均守恒，A、B间相互作用力为斥力，A受力方向与其运动方向相同，B受力方向与其运动方向相反，相互作用力A做正功，对B做负功．在AB靠近的过程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力对B做功的绝对值大于对A做功的绝对值，因此相互作用力做功之和为负，相互作用能增加，所以当A、B最接近时，相互作用能最大，因此两者速度相同，设v′，有
   （m+$\frac{m}{8}$）v′=mv_A0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$   ②
E_pm=（$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$）-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{m}{8}$）v^′2 ③
又已知q=Q，由①②③解得  相互作用能的最大值为 E_pm=$（1-\frac{4\sqrt{2}}{9}）Q{E}_{0}d$
（3）为使B先后共三次经过x=d的点，则B能恰好返回，由动量守恒、能量守恒，且在初态和末态均无相互作用，有
  mv_A+$\frac{m}{8}{v}_{B}$=mv_A0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$  ④
 $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$   ⑤
因B改变运动方向，故v_B＜0  ⑥
由①④⑤⑥解得  q＞$\frac{32}{49}Q$
若B的带电量足够大，有可能会在第三次经过x=d点后，仍然能够返回，则一定是在A与B第一次相互作用后，B的速度的大小仍然大于A的速度大小，即：
|v_B|≥v_A⑦
当取等于号时即为所求临界条件．
联立①④⑤⑥⑦，解得：$q≤\frac{6272}{289}Q$
即为使B先后共三次经过x=d的点，B所带电荷量应满足$\frac{32}{49}Q＜q≤\frac{6272}{289}Q$．
答：（1）A在电场中的运动时间t是$\sqrt{\frac{2dm}{QE{\;}_{{0}_{\;}}}}$；
（2）若B的电荷量q=Q，求两质点相互作用能的最大值E_max是$（1-\frac{4\sqrt{2}}{9}）Q{E}_{0}d$．
（3）为使B先后共三次经过x=d的点，B所带电荷量应满足$\frac{32}{49}Q＜q≤\frac{6272}{289}Q$

点评 本题关键要分析两质点的运动情况，把握每个过程的运动规律，此题类似于弹性碰撞过程，在相互作用过程中，遵守两大守恒：动量守恒和能量守恒，当两者速度相等时，相互作用能达到最大．