Question

3．根据牛顿的设想，只要平抛物体的速度足够大，物体就可以沿地球表面做匀速圆周运动而不落下来；已知地球的半径为R，引力常量为G，一个人在地面上做了测人反应速度的实验，刻度尺下落h高度他在反应时间△t内抓住了刻度尺，不考虑地球自转影响，试由上述信息求：
（1）牛顿的平抛速度大小；
（2）地球质量表达式；
（3）地球的密度表达式．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的公式求出地球表面的重力加速度，求出地球的第一宇宙速度即牛顿设想的平抛速度
（2）根据重力等于万有引力求地球质量
（3）根据密度公式求地球的密度

解答 解：（1）刻度尺自由下落的高度与时间的关系为：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
根据题意，牛顿设想的平抛速度即第一宇宙速度，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球表面物体重力等于万有引力，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的体积为：
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
地球的密度为：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）牛顿设想的平抛速度大小$\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球质量表达式$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的密度表达式$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$

点评 本题要掌握天体运动的两个关系：万有引力提供向心力；星球表面的物体受到的重力等于万有引力．并能根据题意选择恰当的向心力的表达式．