题目内容
美国科学家发射的最新火星登陆器“凤凰”号（造价高达4.2亿美元）登陆火星后（下图为“凤凰”号着陆情景），为了测定火星的重力加速度，进行了如下实验．在一外方内圆的盒子内放一个小球，且小球质量与盒子质量相等均为m，通过计算机控制，给小球一个初速度υ，让小球在竖直平面内做圆周运动，结果发现小球在经过最高点时盒子刚好能离开地面，已知盒子内壁光滑，半径为R，火星的半径为R'试求：（1）火星表面的重力加速度？
（2）“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度？（第一宇宙速度和第二宇宙速度的关系为υ2=
| 2 |
分析：（1）根据机械能守恒定律求出小球在最高点的速度，结合牛顿第二定律求出火星表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度，第一宇宙速度和第二宇宙速度的关系求出）“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度．
（2）根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度，第一宇宙速度和第二宇宙速度的关系求出）“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度．
解答：解：（1）设小球经过最高点时速度为υ'，由最低点到最高点时，机械能守恒，则有
mυ′2+mg2R=
mυ2
在最高点，由题意可知方盒对小球向下的作用力为mg，由牛顿第二定律得
F合=mg+mg=m
联立解得：g=
…①
（2）设火星质量为M，则由万有引力定律可得在火星表面上有
=mg…②
当“凤凰”号沿火星表面上附近运动时有
=m
…③
联立①②③解得：υ1=υ
根据题意可知“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度必须满足第二宇宙速度，即“凤凰”号离开火星时的速度为：υ2=
υ1=υ
答：（1）火星表面的重力加速度g=
．
（2））“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度υ
．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在最高点，由题意可知方盒对小球向下的作用力为mg，由牛顿第二定律得
F合=mg+mg=m
| v′2 |
| R |
联立解得：g=
| υ2 |
| 6R |
（2）设火星质量为M，则由万有引力定律可得在火星表面上有
| GMm |
| R′2 |
当“凤凰”号沿火星表面上附近运动时有
| GMm |
| R′2 |
| ||
| R′ |
联立①②③解得：υ1=υ
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根据题意可知“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度必须满足第二宇宙速度，即“凤凰”号离开火星时的速度为：υ2=
| 2 |
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答：（1）火星表面的重力加速度g=
| υ2 |
| 6R |
（2））“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度υ
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点评：本题综合考查了机械能守恒定律和牛顿第二定律，以及考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，综合性较强，对学生能力的要求较高．
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