Question

11．如图所示，在B=0.1T的匀强磁场中画出边长为L=8cm的正方形EFGH，内有一点P，它与EH和HG的距离均为1cm．在P点有一个发射正离子的装置，能够连续不断地向纸面内的各个方向发射出速率不同的正离子，离子的质量为1.0×10^-14kg，电荷电量为1.0×10^-5C，离子的重力不计，不考虑离子之间的相互作用．（计算结果保留根号）
（1）速率为5×10⁶m/s的离子在磁场中运动的半径是多少厘米？
（2）速率在什么范围内的离子不可能射出正方形区域？
（3）速率为5×10⁶m/s的离子在GF边上离G的距离多少厘米的范围内可以射出？
（4）离子要从GF边上射出正方形区域，速度至少应有多大？

Answer 1

分析 离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出离子的轨道半径，然后分析答题．

解答 解：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
代入数据解得：r₁=0.05m=5cm；
（2）P点与EH和HG的距离均为1cm，离子轨道半径r＜$\frac{1cm}{2}$=0.5cm的离子不可能射出正方形区域，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得：v=5×10⁵m/s，速度v＜5×10⁵m/s离子不能射出磁场区域；
（3）速度大小为v₁=5×10⁶m/s的粒子运动的轨道半径：r₁=5cm．
当粒子运动沿轨迹Ⅱ与HG边相切于B点时，粒子将从GF边A点出射，为最低出射点．由几何关系得：
r₁²=（r₁-d）²+PI²，
解得：PI=3cm，
所以：BG=L-d-PI=4cm，O₁A=BG=4cm，
在三角形O₁AC中：r₁²=（r₁-CG）²+O₁A²，
解得：CG=2cm，
则出射点C在GF边上离G的距离为：CG=2cm，
当粒子沿轨迹Ⅲ与GF边相切于D点时，
粒子将从GF边D点出射，为最高出射点．
在三角形O₂JP中，
由几何关系得：r₁²=（L-r₁-d）²+PJ²，
解得：PJ=$\sqrt{21}$cm，
则出射点DG距下边界高：DG=PJ+d=$\sqrt{21}$+1cm，
综上，出射点距B的距离x满足：2cm≤x≤（1+$\sqrt{21}$）cm．
（4）离子运动轨迹与HG相切又与GF相切是所有射出GF的轨迹中半径最小的，
由几何知识可知，该轨道半径：r=（8-$\sqrt{14}$）×10^-2m，
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，代入数据解得：v=（8-$\sqrt{14}$）×10⁶m/s；
答：（1）速率为5×10⁶m/s的离子在磁场中运动的半径是5厘米．
（2）速率v＜5×10⁵m/s的离子不可能射出正方形区域．
（3）速率为5×10⁶m/s的离子在GF边上离G的距离的范围为：2cm≤x≤（1+$\sqrt{21}$）cm的离子可以射出．
（4）离子要从GF边上射出正方形区域，速度至少为（8-$\sqrt{14}$）×10⁶m/s．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、几何知识即可正确解题．