Question

11．宇航员在地球表面以一初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处，取地球表面重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′．
（2）已知该星球的半径与地球半径之比$\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}$=$\frac{1}{4}$，求该星球的质量与地球质量之比．

Answer 1

分析 （1）竖直上抛运动返回地面时的速度和抛出时的速度大小相等，方向相反，根据匀变速直线运动的规律得出加速度之比，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量M_星与地球质量M_地之比．

解答 解：（1）设竖直上抛小球初速度为v，落回原处时的速度大小为v′，星球表面重力加速度为g′，根据题意知返回地面的速度与抛出时的速度大小相等，方向相反．
地球表面$t=\frac{-{v}^{′}-v}{-g}$
星球表面$5t=\frac{-{v}^{′}-v}{-{g}^{′}}$
联解各式得：g'=2m/s²
（2）小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：$m{g}^{′}=G\frac{{M}_{星}m}{{r}^{2}}$
地球表面附近：$mg=G\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$
由题得：$\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$
联立各式解得：$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}=\frac{1}{80}$．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（2）星球的质量M_星与地球质量M_地之比1：80．

点评 解决本题的关键掌握在天体的表面万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，会根据重力加速度之比球天体质量之比．