Question

5．空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡防，长期工作和生活的载人航天器，如图所示，某空间站在轨道半径为R的近地圆轨道I上围绕地球运动，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离．分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速，进入椭圆轨道II运行．已知椭圆轨道的远地点到地球球心的距离为3.5R，地球质量为M，万有引力常量为G，则分离后飞船在椭圆轨道上至少运动多长时间才有机会和空间站进行第二次对接？
（　　）

• A． $8π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• B． $16π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• C． $27π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• D． $54π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$

Answer 1

分析 设空间站在轨道 I上运行周期为T₁，根据万有引力提供空间站做圆周运动的向心力列式求出空间站的周期；
求出航天飞船所在椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律列式求出航天飞船在轨道 II上运动的周期，要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，从而求出时间．

解答 解：设空间站在轨道 I上运行周期为T₁，万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则：
$G\frac{{M}_{空}{M}_{\;}}{{R}^{2}}={M}_{空}{（\frac{2π}{{T}_{1}}）}^{2}R$
解得：${T}_{1}=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
航天飞船所在椭圆轨道的半长轴：$L=\frac{3.5R+R}{2}=\frac{9}{4}R$
设航天飞船在轨道 II上运动的周期为T₂，由开普勒第三定律：$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}=（\frac{L}{R}）^{3}$
解得：${T}_{2}=\frac{27}{8}{T}_{1}$
要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，故所需时间：t=27T₁
解得：$t=54π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．故ABC错误，D正确．
故选：D

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式以及开普勒第三定律的直接应用，知道要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，难度适中．