Question

11．如图甲所示，电阻不计的光滑平行“U”型金属导轨固定作水平桌面上，轨道间距L=lm，与导轨垂直的虚线PQ右侧有范围足够大的、竖直方向的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B随时间t变化关系如图乙所示．在轨道上与虚线PQ相距d₁=0．lm处，静置一质量m=0．lkg、电阻R=1Ω、长度L=lm的金属杆a． 有一重物b通过光滑的定滑轮由轻绳与金属杆a相连，重物b的质量也为m=0．lkg，轻绳始终处于绷紧状态．在t=0时刻，将重物b和金属杆同时从静止开始释放．已知金属杆始终与轨道垂直且接触良好，轨道右侧MN处有卡环，金属杆运动至MN处将被卡住不再运动，PQ与MN间距d₁=1m，重物b距地足够高，不计空气阻力，重力加速度取g=l0m/s²．求：
（1）金属杆刚要进入磁场时速度大小v；
（2）金属杆刚进入磁场时加速度大小a；
（3）在0～3s时间内金属杆a产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对整体分析，根据牛顿第二定律求出金属杆未进入磁场时的加速度，结合速度位移公式求出金属杆刚要进入磁场时的速度大小．
（2）对整体分析，结合安培力公式和切割产生的感应电动势公式和欧姆定律得出安培力，从而根据牛顿第二定律得出加速度的大小．
（3）分段研究，求出磁场不变时的感应电流，和磁场均匀减小时的感应电流，结合焦耳定律求出金属杆a产生的焦耳热．

解答 解：（1）对整体研究，根据牛顿第二定律得，a₁=$\frac{mg}{2m}=\frac{g}{2}=\frac{10}{2}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
金属杆刚要进入磁场时的速度大小v=$\sqrt{2{a}_{1}{d}_{1}}=\sqrt{2×5×0.1}m/s=1m/s$．
（2）金属杆进入磁场的时间${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{1}{5}s=0.2s$，
此时磁感应强度B=1T，对整体分析，加速度a=$\frac{mg-BIL}{2m}=\frac{mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}}{2m}$=$\frac{g}{2}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2mR}$=$5-\frac{1×1×1}{2×0.1×1}=0m/{s}^{2}$．
（3）金属杆从PQ到MN的时间${t}_{2}=\frac{{d}_{2}}{v}=\frac{1}{1}s=1s$，
可知0-3s内，在0.2-1s内有电流，2-3s内有电流，
在0.2-1s内，电流的大小${I}_{1}=\frac{BLv}{R}=\frac{1×1×1}{1}A=1A$，则金属杆a产生的焦耳热${Q}_{1}={{I}_{1}}^{2}R{t}_{1}=1×1×0.8J=0.8J$，
在2-3s内，电流的大小${I}_{2}=\frac{E}{R}=\frac{\frac{△B}{△t}L{d}_{2}}{R}=\frac{1×1×1}{1}A=1A$，则金属杆a产生的焦耳热${Q}_{2}={{I}_{2}}^{2}R{t}_{2}=1×1×1J=1J$，
可知Q=Q₁+Q₂=0.8+1J=1.8J．
答：（1）金属杆刚要进入磁场时速度大小v为1m/s；
（2）金属杆刚进入磁场时加速度大小a为0；
（3）在0～3s时间内金属杆a产生的焦耳热为1.8J．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要正确分析导体棒的受力情况和能量转化的情况，熟练推导出安培力与速度的关系，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．