Question

一平行板电容器的两个极板ab、cd正对竖直放置，如图所示，极板长为L．现有一电荷量大小为q、质量为m的带电质点P自紧靠ab板内侧的某点以大小为v的初速度竖直向上射出，然后以速度v从cd板的上端c处水平进入cd板右侧的正交电场、磁场中并恰好做匀速圆周运动；当带电质点P运动到cd板上小孔O处时，有另一带电质点Q由静止释放，P、Q两带电质点在小孔处发生正碰，已知Q的质量为m/3，碰撞前Q的电性与P相同且电荷量大小为q/2，碰撞后Q运动到ab板内侧的最下端b处时仍以大小为v的速度竖直离开电容器．忽略平行板电容器两端电场的边缘效应．求：
（1）电容器两板间的电场强度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小；
（3）带电质点P最后离开平行板电容器时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）将带电质点P的运动分解为水平方向和竖直方向，根据运动学公式得出电场强度的大小．
（2）根据带电粒子在匀强磁场中的半径公式，结合几何关系得出半径的大小，从而求出磁感应强度的大小．
（3）结合动量守恒定律和运动学公式求出P、Q的电量和碰后的速度，根据P质点在电容器中的运动规律求出离开电容器的速度．

解答：解：（1）设P从出发点运动至c阶段运动的时间为t．
其中水平加速度为a_x，则在水平方向上有：ax=

qE

m

…①
v=axt=

qE

m

t…②
在竖直方向上有：0-v=-gt…③
t=

v0

g

…④
联立①②③得：E=

mg

q

…⑤
（2）设电容器两极板间的距离为d．
对P从出发点至c阶段，在水平方向上有：d=

v+0

2

t…⑥
联立④⑥解得d=

v2

2g

…⑦
设在正交电场、磁场中质点P做匀速圆周运动的半径为R，则qvB=m

v2

R

R=

mv

qB

…⑧
又2R+d=l…  ⑨
联立⑦⑧⑨得：B=

4mgv

q(2gl-v2)

．
（3）设P、Q碰撞后的速度分别为v₁、v₂．
由动量守恒定律得，mv=mv1+

m

3

v2
设碰撞后P、Q带电量大小分别为q₁、q₂，则q1+q2=

3

2

q
碰撞后Q在水平方向上有：d=

v2+0

2

t
可得：v2=v，v1=

2

3

v
0-v22=-2

q2E

m 3

d
得q1=

7

6

q，q2=

q

3

．
则碰撞后P在水平方向上的加速度ax=

q1E

m

=

7

6

g．
它在电容器中间运动的时间仍为t，设P射出电容器时其水平速度为v_x，
则vx=v1-axt=-

1

2

v
则P射出电容器时的速度为v_p，
vp=

vx2+v2

=

5

2

v．
答：（1）电容器两板间的电场强度为

mg

q

（2）磁场的磁感应强度大小为

4mgv

q(2gl-v2)

（3）带电质点P最后离开平行板电容器时的速度大小为

5

2

v．

点评：本题综合考查了动量守恒定律和运动学公式，关键理清质点的运动情况，选择合适的公式进行求解，注意运动学公式的灵活运用．