Question

如图（甲）所示，x≥0的区域内有如图乙所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向．现有一质量为m、带电量为q的正电粒子，在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75°角射入．粒子运动一段时间到达P点，P点坐标为（a，a），此时粒子的速度方向与

.

OP

延长线的夹角为30°．粒子在这过程中只受磁场力的作用．
（1）若B为已知量，试求粒子在磁场中运动时的轨道半径R及周期T的表达式．
（2）说明在OP间运动的时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动．
（3）若B为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感强度B₀的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动？（写出T及B₀各应满足条件的表达式）

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可求出粒子运动轨迹的半径．由带电粒子在匀强磁场中的周期公式T=

2πR

v

可求出粒子的运动周期．
（2）画出粒子的运动轨迹，通过题意找出磁场的变化周期和粒子的运动周期的关系，结合几何图形，可得出粒子到达P点的时间与磁场的变化周期T之间的关系．
（3）结合第二问的分析，考虑到带电粒子从O到P运动中可完成的周期的重复性，列式求解即可．

解答：解：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
      Bqv=m

v2

R

 解得轨道半径：R=

mv

Bq

 周期为  T_运=

2πR

v

=

2πm

qB

（2）由粒子经过O点与P点的速度方向以及B方向可判断．

由O至P运动的过程可能在磁场变化的半个周期内完成．
当磁场方向改变时，粒子绕行方向也变化，由于磁场方向变化的周期性，因此粒子绕行方向也具有周期性．由此可知，由O至P运动过程，也可能在磁场变化半周期奇数倍时完成．
（3）如答图所示：O→P运动过程，可能恰转过一个

1

6

圆周完成，若磁场变化半周期．
则有 

T

2

≥

T总

6

          
解得 T≥

1

3

T_运
即T≥

2πm

3qB

可能仅运动一个

1

6

圆周就达P点，此时OP=R=

2

a=

mv

qB

  B=

mv

q 2 a

=

2 mv

qa

    ①
∴T≥

2πm

3qB

=

2 2 πa

3v

    ②
若粒子运动在磁场变化的半周期的奇数倍时间内完成，则（2k-1）

T

2

=（2k-1）

T总

6

 （k=1，2，3…）
  T=

1

3

T_总=

2πm

3qB

          ③
由答图一，此时

.

OP

=（2k-1）R
∴

2

a=（2k-1）

mv

Bq

B=（2k-1）

2 mv

2aq

 （k=1，2，3，…）  ④
④代入③得：T=

3 πa

3(2k-1)v

 （k=1，2，3，…）     ⑤
①④结合得：B=（2k-1）

2 mv

2aq

②⑤结合得：T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　　
答：（1）粒子在磁场中运动时的轨道半径R为

mv

Bq

，周期T的表达式为 T_运=

2πm

qB

．
（2）由O至P运动过程，也可能在磁场变化半周期奇数倍时完成．
（3）若B为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感强度B₀的大小各应满足T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　的条件，才能使粒子完成上述运动．

点评：该题考察了带电粒子在方向随时间作周期性变化的磁场中运动的问题，此题不但要求学生要熟练的应用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径公式和周期公式，还要求要有较强的对物体运动的分析能力，该题关键是找出磁场变化的周期和粒子圆周运动的周期的关系．正确的绘制出粒子的轨迹图，对解决问题有非常大的帮助．