Question

19．如图所示，装置可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC 长L=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等．（重力加速度g取10m/s²）
（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω=$\sqrt{10}$rad/s，求此时两细线中拉力的大小．

Answer 1

分析 （1）当细线AB张力为零时，绳子AC拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小；
（2）装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{10}$rad/s，小于第一问中的角速度，根据牛顿第二定律求细线AB的拉力．

解答 解：（1）当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，有：
mgtan37°=mω₁²Lsin37°
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos3{7}^{0}}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×0.8}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s．
（2）由于ω₂＜ω₁，则细线AB上有拉力，为T，AC线上的拉力为F．
水平方向上根据牛顿第二定律得：Fsin37°-T=mω₂²Lsin37°
竖直方向由平衡条件可得：Fcos37°=mg
解得：F=12.5N，T=1.5N．
答：（1）角速度ω₁的大小为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s；
（2）若装置匀速转动的角速度为ω₂=$\sqrt{10}$rad/s，细线AB的拉力是1.5N，AC线上的拉力为12.5N．

点评 解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．