Question

9．在地球上发射一颗卫星，其第一宇宙速度为7.9km/s．已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍，欲在该星球上发射一颗人造卫星，其最小发射速度是多少？

Answer 1

分析 最小发射速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，结合中心天体质量之比和半径之比求出该星球的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度的关系，从而得出该星球的第一宇宙速度，即最小发射速度．

解答 解：设地球质量为M₁，半径为R₁；某星球的质量为M₂，半径为R₂，则有：$G\frac{{M}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$，
同理有：${v}_{2}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}$，
所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}{M}_{2}}}=\sqrt{\frac{9}{81}}=\frac{1}{3}$，
则有：v₂=3v₁=3×7.9km/s=23.7km/s．
答：最小发射速度为23.7km/s．

点评 解决本题的关键掌握第一宇宙速度的意义，知道第一宇宙速度是贴着星球表面做匀速圆周运动的速度，是最小的发射速度，做圆周运动的最大环绕速度．