Question

若行星的平均密为ρ，靠近行星表面的卫星运转的卫星运转周期为T，试证明ρT²是一个对任何行星都是一样的常量．（球的体积公式为V=

4

3

πR3）

Answer 1

分析：根据行星对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，由此计算出行星的质量，行星可看做球体，可知行星的体积，根据密度的定义式，计算行星的密度即可．

解答：证明：设行星的质量为M半径为R，卫星的质量为m，
卫星受到行星的万有引力等于其运转的向心力有：G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得M=

4π2R3

GT2

行星可看成球体，其体积为V=

4

3

πR3
根据密度的定义式ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

所以ρT2=

3π

G

=常量

点评：本题掌握一个重要的关系：行星对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，同时要注意此卫星靠近行星表面飞行，其轨道半径就近似等于行星的半径．