Question

5．如图所示，将质量m=2kg的圆环套在与水平面成θ=37°角的足够长直杆上，直杆固定不动，环的直径略大于杆的截面直径．杆上依次有三点A、B、C，s_AB=8m，s_BC=0.6m，环与杆间动摩擦因数μ=0.5．现在对环施加一个与杆成37°斜向上大小为20N的拉力F，使环从A点由静止开始沿杆向上运动，圆环到达B点时撤去拉力F，此后圆环从B点继续向上运动，求此环从A点到达C点所用的时间．（已知重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 分别对撤去力F前后对环受力分析，根据牛顿第二定律列方程求解出环的加速度拉力a，再根据位移时间关系求得到达B点时的时间和速度，到达C的过程分为两部分，一为匀减速上升时到达C点，二是到达最高点后再加速下滑时经过C点，故时间有两个答案．

解答 解：圆环从A到B的过程中做匀加速直线运动，设所用时间为t₁，由受力分析和牛顿第二定律得：
沿着直杆方向有：Fcos37°-mgsin37°-μF_N=ma₁
垂直直杆方向有：F_N+Fsin37°=mgcos37°
联立解得：a₁=1m/s²
根据s_AB=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$
得：t₁=4s
圆环到达B点的速度为：
v_B=a₁t₁=4m/s
撤去力后向上运动过程，对圆环受力分析，由牛顿第二定律得：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₂，
解得加速度大小为：a₂=10m/s²；
圆环减速到零时间为t₀，运动距离为s，则：v_B=a₂t₀，解得：t₀=0.4s
则s=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.16$=0.8m，
若环向上经过C点，则有：s_BC=v_Bt₂-$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$；
代入数据解得：t₂=0.2s，或者t₂=0.6s（舍去）
当环运动到最高点，将再次向下匀加速运动，则由牛顿第二定律得：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₃，
代入数据解得：a₃=2m/s²
环从最高点下滑到C点时发生的位移为：
x=s-s_BC=0.2m
由x=$\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{3}}^{2}$得：t₃=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s；
所以，圆环从A点到达C点所用的时间：
t=t₁+t₂=4.2s
或者为：t=t₁+t₀+t₃=$\frac{22+\sqrt{5}}{5}$s．
答：此环从A点到达C点所用的时间为4.2s或$\frac{22+\sqrt{5}}{5}$s．

点评 掌握解决动力学两类基本问题的方法和思路：一已知物体的运动求物体的受力，二是已知物体的受力求物体的运动情况．解决这两类问题的关键是桥梁根据牛顿第二定律求出加速度a．