题目内容
15．
水平地面上方空间存在着范围足够大的水平匀强电场，一个光滑绝缘的部分圆周轨道竖直固定在某位置，如图所示，圆周平面与电场方向平行，AB为直径，与竖直方向的夹角θ=45°，圆周轨道内有一个质量为m带电量为+q的小球在A点处于静止状态．若给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做逆时针圆周运动，经过B点时离开圆周轨道，飞行一段时间后垂直打在地面上．已知圆周轨道半径为R．圆心O到地面的距离为$\sqrt{2}$R．（1）求电场强度的大小和方向．
（2）求小球脱离轨道B点后直至落地所用的时间．
（3）小球出发时在A点对轨道造成的压力是多大．
分析 （1）对小球进行受力分析，结合在A点的受力平衡即可求出电场力的大小与方向，结合电场力的方向判断出电场的方向；
（2）将小球离开B点后的速度与运动分解，结合运动学的公式即可求出时间；
（3）根据A到B的过程中重力与电场力做功，由动能定理求出小球在A点的速度，结合牛顿第二定律和向心力的公式即可求出．
解答 解：（1）如图，对小球进行受力分析可知，小球所受电场力方向水平向右，因为小球带正电，所以电场的方向水平向右
电场强度的大小：E=$\frac{mgtan45°}{q}$=$\frac{mg}{q}$…①
（2）设小球脱离轨道B点后直至落地所用的时间t，小球脱离B点时的速度为VB，水平方向加速度大小为：a=$\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}=g$…②
如图所示，水平向左做匀减速运动，接触地面时水平速度为0，所以：
vBcosθ=gt…③
竖直方向做匀加速运动：$\sqrt{2}R+\frac{\sqrt{2}}{2}R={v}_{B}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…④
由③④联立解得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$…⑤
（3）设小球在A点的速度大小为vA，电场力与重力合力的大小为：${F}_{合}=\sqrt{2}mg$
小球从A运动到B的过程中，轨道弹力不做功，对小球从A出发到B脱离轨道的过程应用动能定理：
$-{F}_{合}•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…⑥
设小球在位置A时受到轨道支持力大小为FN，在A点对小球应用牛顿第二定律：${F}_{N}-\sqrt{2}mg=\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$…⑦
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，联系（1）、（2）及⑥⑦式关系得：
${F}_{N}′={F}_{N}=7\sqrt{2}mg$
答：（1）电场强度的大小是$\frac{mg}{q}$，方向水平向右．
（2）小球脱离轨道B点后直至落地所用的时间是$\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$．
（3）小球出发时在A点对轨道造成的压力是$7\sqrt{2}mg$．
点评 本题考查带电粒子在电场和重力场复合场中的运动，灵活运用动能定理和牛顿第二定律相结合研究，可用类比的方法理解：A点相当于重力场中竖直平面内圆周运动的最低点．
如图所示是“龟兔赛跑”的位移-时间图象，看图完成问题：
两个正点电荷Q1、Q2，其中Q2=4Q1分别固定在光滑绝缘水平面上的A、B两点，A、B两点相距为L，且A、B两点正好位于水平放置的光滑绝缘半圆细管两个端点的出口处，如图所示．现将另一正点电荷从A、B连线上靠近A处的位置由静止释放，则它在A、B连线上运动的过程中，达到最大速度时的位置离A点的距离为$\frac{L}{3}$，若把该点电荷放于绝缘管内靠近A点的位置由静止释放，已知它在管内运动过程中速度为最大时的位置在P处．则tanθ=$\root{3}{4}$（θ为图中PA和AB连线的夹角，结果可用分数或根式表示）．
如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环，其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L．劲度系数为k的轻弹簧上端固定在大环的中心O，下端连接一个质量为m、电荷量为q，可视为质点的小环．小环刚好套在大环上且与大环及弹簧绝缘，整个装置处在水平向右的匀强电场中．将小环从A点由静止释放、小环运动到B点时速度恰好为0．已知小环在A、B两点时弹簧的形变量大小相等，则（ ）| A． | 电场强度的大小E=$\frac{mg}{q}$ | |
| B． | 小环从A点运动到B点的过程中，小环的电势能一直减小 | |
| C． | 小环从A点运动到B点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 | |
| D． | 小环在A点时受到大环对它的弹力大小F=mg+$\frac{1}{2}$kL |
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT．现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是（ ）| A． | 质量为2m的木块受到五个力的作用 | |
| B． | 当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断 | |
| C． | 当F逐渐增大到1.5FT时，轻绳还不会被拉断 | |
| D． | 当轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为FT |
质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．图中所示的质谱仪是由加速电场和偏转磁场组成．带电粒子从容器A下方的小孔Sl飘入电势差为u的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S2沿着与磁场垂直的方向进人磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上．不计粒子重力．
如图所示，直角三角形OAC内存在垂直纸面向里的匀强磁场，∠AOC=30°，在O点带电粒子能沿OA、OC方向以一定初速度垂直磁场方向射入磁场．质量相同的一价正离子和一价负离子在O点同时射入磁场，两个离子经磁场偏转后恰好分别从A、C两点离开磁场，不计离子重力，则（ ）| A． | 沿OA方向射入的一定是负离子 | B． | 两离子的初速度大小之比为2：$\sqrt{3}$ | ||
| C． | 负离子比正离子先离开磁场 | D． | 两离子在磁场中的运动时间相等 |
如图所示的坐标系中，第一象限存在与y轴平行的匀强电场，场强方向沿y轴负方向，第二象限存在垂直纸面向里的匀强磁场．P、Q两点在x轴上，Q点横坐标是C点纵坐标的2倍．一带电粒子（不计重力）若从C点以垂直于y轴的速度υ0向右射入第一象限，恰好经过Q点．若该粒子从C点以垂直于y轴的速度υ0向左射入第二象限，恰好经过P点，经过P点时，速度与x轴正方向成90°角，则电场强度E与磁感应强度B的比值为（ ）| A． | υ0 | B． | $\frac{1}{2}$υ0 | C． | $\frac{1}{3}$υ0 | D． | $\frac{1}{4}$υ0 |
如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸长的轻绳穿过小孔．绳的两端分别拴有一小球C和一质量为m的物体B，在物体B的下端还悬挂有一质量为3m的物体A．使小球C在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时，圆周运动的半径为R．现剪断A与B之间的绳子，稳定后，小球以2R的半径在在水平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的（ ）| A． | 剪断A、B间的绳子后，B和C组成的系统机械能增加 | |
| B． | 剪断A、B间的绳子后，小球C的机械能不变 | |
| C． | 剪断A、B间的绳子后，物体B对小球做功为-mgR | |
| D． | 剪断A、B间的绳子前，小球C的动能为2mgR |