Question

11．天文学上把两颗相距较近，由彼此间万有引力作用而环绕空中某一中心点做匀速圆周运动的恒星系统称为双星．从与双星相距很远的位置看双星，它们都在绕中心点“晃动”．由α星、β星组成的双星系统绕其中心“晃动”的周期为T，α星的“晃动”范围为D_α，β星“晃动”范围为D_β．已知引力常量为G．求α星和β星的质量之和．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：根据万有引力提供向心力：$G\frac{{m}_{α}{m}_{β}}{{{（D}_{α}+{D}_{β}）}^{2}}={m}_{α}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{D}_{α}={m}_{β}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{D}_{β}$
得${m}_{α}+{m}_{β}=\frac{4{π}^{2}（Dα+{D}_{β}）^{3}}{{GT}^{2}}$
即双星的总质量M=$\frac{4{π}^{2}{（Dα+{D}_{β}）}^{3}}{{GT}^{2}}$
答：α星和β星的质量之和为$\frac{4{π}^{2}{（Dα+{D}_{β}）}^{3}}{{GT}^{2}}$．

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．