Question

19．“嫦娥五号”将于2017年左右在海南文昌航天发射中心发射．完成探月工程的重大跨越-带回月球样品．假设“嫦娥五号”在“落月”前，以速度v沿月球表面做匀速圆周运动，运动的周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的半径为$\frac{vT}{π}$
• B． 月球的平均密度约为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． 月球的质量约为$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
• D． 月球表面的重力加速度约为$\frac{2π}{vT}$

Answer 1

分析 “嫦娥五号”在“落月”前，以速度v沿月球表面做匀速圆周运动，其轨道半径约为月球的半径，根据v=$\frac{2πr}{T}$求月球的半径．根据万有引力提供圆周运动的向心力，列式即可求出月球的质量，再求月球的密度．“嫦娥五号”的向心加速度等于月球表面的重力加速度．

解答 解：A、设月球的半径为r，“嫦娥五号”的轨道半径约等于月球的半径，由v=$\frac{2πr}{T}$得 r=$\frac{vT}{2π}$．故A错误．
B、根据万有引力提供向心力得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，得 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，月球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．故B正确．
C、月球的质量为 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，将 r=$\frac{vT}{2π}$代入得 M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．故C正确．
D、“嫦娥五号”的向心加速度约等于月球表面的重力加速度，为 a=g=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{v}^{2}}{\frac{vT}{2π}}$=$\frac{2πv}{T}$．故D错误．
故选：BC

点评 已知旋转天体的轨道半径和周期，由万有引力提供向心力能求出中心天体的质量，本题要注意“嫦娥五号”的轨道半径约等于月球的半径，可求出月球的平均密度．