Question

10．如图所示，一质量为m的小方块（可视为质点），系在一伸直的轻绳一端，绳的另一端固定在粗糙水平面上，绳长为r．给小方块一沿垂直轻绳的初速度v₀，质点将在该水平面上以绳长为半径做圆周运动，运动一周后，其速率变为$\frac{v_0}{2}$，则绳拉力的大小随物体转过的角度均匀减小（选填“均匀”、“不均匀”），质点运动一周的时间为$\frac{8πr}{3{v}_{0}}$．

Answer 1

分析 1、小方块做圆周运动，则小方块受到绳子的拉力提供向心力；
2、利用“化曲为直”的思想，小方块在运动一周过程中，可以看做小方块做加速度为a=μg的匀减速直线运动，
则v²=2ax=2μgx，又因为x=rθ，所以F=$m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{2μg}{r}$rθ=2μmgθ，即绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小；
3、利用“化曲为直”的思想，小方块在运动一周过程中的平均速度为v，根据平均速度公式得：2πr=vt，化简可解得运动一周的时间．

解答 解：利用“化曲为直”的思想，小方块在运动一周的过程中，可以看做小方块做加速度为a=μg的匀减速直线运动，则绳的拉力为：F=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，v²=2ax=2μgx，x=rθ，
化简得：F=$m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{2μg}{r}$rθ=2μmgθ，即绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小，
根据平均速度公式得：2πr=vt，利用“化曲为直”的思想，小方块在运动一周过程中的平均速度为：$v=\frac{{v}_{0}+\frac{{v}_{0}}{2}}{2}$，
解得：t=$\frac{8πr}{3{v}_{0}}$．
故答案为：均匀，$\frac{8πr}{{3{v_0}}}$

点评 本题要掌握“化曲为直”的思想，小方块在运动一周过程中，可以看做小方块做加速度为a=μg的匀减速直线运动，这一点是解题的关键．