Question

20．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个质量为0.1kg的小球（可视为质点）以v₀=3m/s的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度h=0.8m，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小及圆管在水平方向上对小球的作用力大小；
（2）小球从A点运动到B点的时间t；
（3）小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据匀速圆周运动的线速度大小，结合线速度与角速度的关系求出小球做圆周运动的角速度，根据向心加速度公式求出向心加速度的大小，从而结合牛顿第二定律求出圆管在水平方向上对小球的作用力大小．
（2）根据匀速圆周运动的弧长和线速度求出小球从A到B的时间．
（3）根据高度，结合位移时间公式求出平抛运动的时间，结合速度时间公式求出落地时的竖直分速度，根据平行四边形定则求出落地的速度大小．

解答 解：（1）小球做匀速圆周运动，角速度为：$ω=\frac{{v}_{0}}{R}=\frac{3}{1}$=3rad/s
加速度为：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}=\frac{{3}^{2}}{1}$=9m/s²
圆管对球作用力为：F=ma=0.1×9N=0.9N
（2）小球从A到B的时间为：t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}=\frac{3.14×1}{3}$=1.05s．
（3）小球在竖直方向做自由落体运动，根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s$=0.4s  
落地时竖直方向的速度为：v_y=gt=10×0.4m/s=4m/s，
落地的速度大小为：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{9+16}$m/s=5.0m/s．
答：（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度为3rad/s，向心加速度的大小为9m/s²，圆管在水平方向上对小球的作用力大小为0.9N．
（2）小球从A点运动到B点的时间为1.05s；
（3）小球在空中做平抛运动的时间为0.4s，落到地面D点时的速度大小为5.0m/s．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的基本运用，知道圆周运动线速度、角速度、向心加速度之间的关系，以及知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．