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2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T1=125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T2=107.8min．计算时取
3107.8
=4.76．试估算（结果保留两位有效数字）
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g；
（2）空中尘埃层存在的时间；
（3）“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度．
分析：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供其向心力，根据牛顿第二定律对卫星在离月球表面高176km的圆轨道和近月轨道分别列式，联立可求得R和g．
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，根据位移公式和对称性求空中尘埃层存在的时间．
（3）根据条件：尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%，先由机械能守恒求出尘埃上升时的初速度，即能根据条件求出“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度．
解答：解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供其向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
在离月球表面高176km的圆轨道上，有  G
Mm
(R+h)2
=m
4π2
T
2
1
(R+h)  ①
在近月轨道上，有：G
Mm
R2
=m
4π2
T
2
2
R  ②
由①②得：
(R+h)3
R3
=
T
2
1
T
2
2

解得：
  R=
3
T
2
2
3
T
2
1
-
3
T
2
2
h=1.7×106m ③
  g=
4π2
T
2
2
R=1.6m/s2  ④
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由 H=
1
2
g
t
2
下

得：t=2t下=2
2H
g
=2
2×104
1.6
=
5
×102s=2.2×102s
（3）尘埃上升时机械能守恒，有：
 
1
2
m
v
2
0
=mgH
得：v0=
2gH
=
2×1.6×104
=1.8×102m/s
则卫星撞击月球时的速度约为v=
v0
11%
=
1.8×102
11%
=1.6×103m/s
答：
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g为1.6m/s2；
（2）空中尘埃层存在的时间为2.2×102s；
（3）“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度为1.6×103m/s．
点评：本题是卫星问题，关键要建立模型，理清解题思路：万有引力等于向心力．
练习册系列答案
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1
6
，月球半径为地球半径的
1
4
，根据以上信息得（　　）

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