Question

18．宇航员站在火星表面，从某点（高度远小于火星半径）平抛一个物体，测得物体在空中运动时间为t₁，水平射程为x；他从同一点以同样大小的初速度竖直上抛另一物体，测得物体在空中的运动时间为t₂．经查资料得知：火星的半径为R、自转周期为T．求：
（1）火星表面的重力加速度；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小；
（3）火星的“同步卫星”距火星表面的高度．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的公式与竖直上抛运动的位移公式，即可求出加速度；
（2）根据万有引力提供向心力，以及星体表面上根据卫星的万有引力等于重力即可求出第一宇宙速度；
（3）由万有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）平抛的物体：x=v₀t₁，$h=\frac{1}{2}gt_1^2$
竖直上抛的物体：$h=-{v_0}{t_2}+\frac{1}{2}gt_2^2$
解得：g=$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$
（2）对火星表面的物体：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
对“近火卫星”：$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2x{t_2}R}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}$
（3）对于火星的“同步卫星”：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{{\frac{{2x{t_2}{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}}-R$
答：（1）火星表面的重力加速度为$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小为$\sqrt{\frac{2x{t}_{2}R}{{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}$；
（3）火星的“同步卫星”距火星表面的高度是$\root{3}{\frac{2x{t}_{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}-R$．

点评 把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．